Аннуитет. Определяем в MS EXCEL Приведенную (Текущую) стоимость

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период начиная с настоящего момента. Он также определяется как серия поступлений. Например, право получать 100 долл. В конце каждого года в течение следующих 4 лет создает обычный аннуитет. Текущая стоимость аннуитета показана графически на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Текущая стоимость обычного аннуитета

Текущая стоимость аннуитета при заданной ставке дисконта может быть рассчитана путем оценки каждого платежа (поступления) в от­дельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответст­вующий фактор текущей стоимости единицы.

Например, право получения 100 долл. Чистого рентного дохода в конце каждого года на протяжении следующих 4 лет может быть оценено, если учитывать каждое из четырех поступлений как отдельную реверсию. При 10%-ной ставке дисконта стоимость первого поступления равна 90,91 долл. (100,00 долл. X 0,90909.- 90,91 долл.); второго - 82,64 долл., третьего - 75,13, четвертого - 68,30 долл. Текущая стоимость всего четырехлетнего аннуитета составляет 316,98 долл. (90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. + 68,30 долл.). Поэтому при 10%-ной ставке сегодняшние инвестиции в 316,98 долл. (текущая стоимость) являются обоснованной платой за право ежегодного получения 100,00 долл. На протяжении последующих четырех лет.

Предварительно рассчитанные таблицы. Широкое и интенсивное использование фактора текущей стоимости аннуитета привело к построению соответствующих таблиц. Данные таблицы показывают факторы с учетом того, что каждый платеж за период равен 1 долл. Это факторы аннуитета (annuity factors), или факторы Инвуда (Inwood factors), по имени Уильяма Инвуда (1771-1843). Во многих таблицах сложного процента они показаны в колонке 5.

Фактор Инвуда рассчитывается по следующей формуле:

Фактор текущей стоимости аннуитета может быть также рассчитан как сумма текущих стоимостей в 1 долл. За определенный временной период

Для построения аннуитетной таблицы следует просто сложить факторы текущей стоимости единицы за соответствующее число лет, как это показано в табл. 2.2.

ТАБЛИЦА 2.2

Соотношение текущей стоимости единицы и текущей стоимости аннуитета (ставка * 10%)

В широком смысле аннуитет представляет собой серию одинаковых по размеру платежей, которые осуществляются в течение определенного периода времени через равные интервалы. При этом понятие «настоящая стоимость аннуитета » происходит из концепции стоимости денег во времени (англ. Time Value of Money ), которая предполагает, что стоимость 1 у.е. в будущем будет ниже, чем ее стоимость сегодня. Хотя данное утверждение может показаться странным на первый взгляд, оно имеет под собой определенные основания. Действительно, деньги могут терять свою покупательную способность под воздействием инфляции . Другим аспектом является упущенная выгода. Например, инвестор может вложить 1000 у.е. на 1 год под 7% годовых и получить через год 1070 у.е., однако, отказавшись вкладывать эти средства инвестор «недополучит» прибыль в размере 70 у.е.

Определение настоящей стоимости аннуитета является широко распространенной практикой в финансовых расчетах, которые осуществляются как институциональными , так и частными инвесторами. Эта методика чрезвычайно полезна при оценке различных инвестиционных возможностей и при выборе формы кредитования. Чтобы лучше разобраться в проблеме, рассмотрим ее на примере.

Пример 1

Страховая компания предложила инвестору ежегодно выплачивать по 100 у.е. в течение 5-ти лет в обмен на единоразовый платеж в 400 у.е. При этом инвестору необходимо принять решение о целесообразности такой инвестиции, если для него требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ) составляет 7% годовых.

Для того чтобы ответить на этот вопрос нам необходимо привести все денежные потоки к настоящему времени, то есть определить их настоящую стоимость (англ. Present Value ). Схематически этот процесс представлен на графике.

Инвестор последовательно получит 5 платежей по 100 у.е. с интервалом в один год. Чтобы определить их настоящую стоимость необходимо воспользоваться следующей формулой.

где FV – будущая стоимость денежного потока;

i

N – количество периодов.

Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

PV 1 = 100/(1+0,07) 1 = 93,46 у.е.

PV 2 = 100/(1+0,07) 2 = 87,34 у.е.

PV 3 = 100/(1+0,07) 3 = 81,63 у.е.

PV 4 = 100/(1+0,07) 4 = 76,29 у.е.

PV 5 = 100/(1+0,07) 5 = 71,30 у.е.

Как мы можем видеть, настоящая стоимость первого денежного потока самая высокая, а последнего – самая низкая. При этом, каждая из них ниже, чем их номинальная стоимость в размере 100 у.е.

Для того чтобы определить настоящую стоимость аннуитета, нам необходимо сложить настоящую стоимость каждого денежного потока.

PVA = 93,46+87,34+81,63+76,29+71,30 = 410,09 у.е.

Учитывая, что настоящая стоимость аннуитета, предложенного страховой компанией инвестору, выше, чем сумма единоразового платежа в размере 400 у.е., то данная инвестиционная возможность является приемлемой. В противном случае (настоящая стоимость ниже, чем единоразовый платеж) она должна быть отвергнута.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период (ставка дисконтирования или требуемая норма доходности);

N – количество периодов.

Подставив данные из предыдущего примера мы получим следующую сумму, которая совпадает с приведенными выше расчетами.

* - незначительное расхождение с предыдущей суммой возникло в результате округлений настоящей стоимость каждого денежного потока в приведенном выше примере.

Проблемы при применении данной методики на практике возникают при определении ставки дисконтирования или требуемой нормы доходности, от которых будут зависеть правильность принятого решения. Для их определения не существует никакой общепринятой методики или формулы, поэтому процесс ее оценки носит достаточно субъективный характер. Следует отметить, что на ее величину влияют такие факторы, как, например, сумма инвестиций, инвестиционный горизонт , склонность к риску , его финансовое положение и цели. Поэтому для одного инвестора требуемая норма доходности может составлять 5%, а для более склонного к риску, например, 13%.

В случае, когда аннуитетный платеж осуществляется в начале каждого периода, так называемый аннуитет пренумерандо, формула для расчета его настоящей стоимости имеет следующий вид.

Чтобы лучше разобраться в этой проблеме рассмотрим ее на простом примере.

Пример 2

Арендодателю поступило предложение о заключении договора аренды сроком на пять лет на следующих условиях:

Срок действия договора 5 лет;

- арендатор ежегодно осуществляет авансовые платежи в размере 500 у.е.

При этом арендодатель может продать объект аренды за 2000 у.е. и вложить эти средства под 8% годовых. Необходимо определить какое из этих предложений будет для него более выгодным. Чтобы ответить на этот вопрос надо найти настоящую стоимость аннуитета, что схематически будет выглядеть следующим образом.

Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

PV 1 = 500/(1+0,08) 0 = 500 у.е.

PV 2 = 500/(1+0,08) 1 = 462,96 у.е.

PV 3 = 500/(1+0,08) 2 = 428,67 у.е.

PV 4 = 500/(1+0,08) 3 = 396,92 у.е.

PV 5 = 500/(1+0,08) 4 = 367,51 у.е.

Следует отметить, что настоящая стоимость первого денежного потока совпадает с его номинальной стоимостью 500 у.е., поскольку арендный платеж носил авансовый характер, то есть был выплачен в 0 точке. Соответственно, все остальные полученные платежи также сдвинулись влево по временной шкале. Таким образом, настоящая стоимость аннуитета на таких условиях составит.

PVA = 500+462,96+428,67+396,92+367,51 = 2156,06 у.е.

Аннуитеты. Текущая стоимость аннуитета. Будущая стоимость аннуитета

Аннуитет (финансовая рента) - ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.

Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми; ренты, платежи по которым производятся несколько раз в год, либо период между платежами может превышать год, называются дискретными.

По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные (платежи производятся сразу же после заключения контракта) и отложенные (срок реализации откладывается на указанное в контракте время).

По моменту выплат подразделяются на обычные - постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующе периодов (года, полугодия и т. д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале соответствующих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.

Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (текущая, приведенная) величина.

Наращенная сумма ренты (FVA) - это сумма потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

где FVA - будущая стоимость аннуитета (future value of annuity);

А - платеж, осуществленный в конце периода t (величина ежегодного взноса);

i - уровень дохода по инвестициям (годовая процентная ставка);

n - число периодов, в течение которых получается доход.

Если суммы платежей одинаковы в каждом периоде, то это уравнение можно представить в виде:

Коэффициент наращения ренты, который называют также коэффициентом накопления денежной единицы за период. Коэффициент наращения ренты показывает будущую стоимость аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне i. Коэффициенты наращения ренты табулированы приложении.

Ренты (пренумерандо) также называются авансовыми или причитающимися аннуитетами, т. е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Сумма членов такой ренты вычисляется по формуле:

т. е. сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

где FVAo - наращенная сумма аннуитета постнумерандо.

В случае, когда платежи производятся в середине периодов, вычисление наращенной суммы производится по формуле:

где FVAо - наращенная сумма платежей, выплачиваемых в конце каждого периода (рента постнумерандо).

Если начисление процентов осуществляется m раз в год, то расчет будущей стоимости аннуитета производится по формуле:

Определение будущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:

Пример 1. В компании принято решение сформировать инвестиционный фонд, откладывая в течение 10 лет по 500 000 руб. на банковский счет со ставкой 10%. Сколько средств будет в инвестиционном фонде компании через 10 лет.

Пример 2. Предприятию предстоит через 5 лет заменить технологическую установку стоимостью в 1 млн. руб. Имеется договоренность с банком об открытии накопительного счета под амортизационный фонд со ставкой в 10% годовых. Спрашивается, сколько надо предприятию ежегодно перечислять на этот счет, чтобы к концу 5 года собрать сумму, достаточную для покупки аналогичной установки (не беря в расчет инфляцию)

1 000 000 = А. 6,105

А = 1 000 000 / 6,105 =163 800,2 руб.

Пример 3. Производственная компания заключила договор с банком на 5 лет, поступающие ежегодные денежные платежи в размере 10 млн. руб. помещаются на депозит под 8% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму депозита в конце срока договора.

Пример 4. Для создания фонда развития фирма заключила договор с банком, предусматривающий ежеквартальное внесение 15 млн. руб. на депозит в течение 5 лет под 7,5% готовых. Определите сумму депозита по окончанию срока договора.

Современная величина ренты (ее также называют текущей, или приведенной величиной) - это сумма всех членов ренты, дисконтированных на момент приведения по выбранной дисконтной ставке.

где FA - будущие поступления денежных средств в конце периода t;

i - норма доходности по инвестициям (годовая процентная ставка);

n - число периодов, на протяжении которых в будущем поступят доходы от современных инвестиций.

Для ренты с членами, равными будущими поступлениями денежных средств (FA), современная величина рассчитывается по формуле:

Коэффициент приведения ренты - текущая стоимость аннуитета стоимостью в 1руб. в конце каждого из n периодов при ставке доходности на уровне i.

Данный показатель также называется текущей стоимостью обычного аннуитета, или текущей стоимостью будущих платежей. Коэффициенты приведения ренты табулированы в приложении.

В случае начисления процентов m раз в год, расчет текущей (приведенной) стоимости аннуитета производится по формуле:

где m - число начислений в течение года.

Определение текущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:

где k - число рентных платежей в течение года.

Пример 1. Фирмой предусматривается создание в течение 3 лет фонда инвестирования в размере 811,6 тыс. руб. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 250 тыс. руб., помещая в банк под 8 % годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда, если бы она поместила ее в банк одномоментно на 3 года под 8 % годовых.

Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем текущую величину ренты с параметрами: FA = 250 тыс. руб.; n = 3; i = 8%.

Действительно, если бы фирма имела возможность указанную сумму (644,27 тыс. руб.) поместить в банк на 3 года под 8%, годовых, то наращенная сумма составила бы:

В то же время наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 250 тыс. руб. под 8 % годовых составит:

Пример 2. Фирма создает фонд развития путем ежегодных помещений в банк сумм в размере 2 млн. руб. под 10% годовых. Взносы в банк производятся равными частями один раз в год в середине года. Необходимо определить величину фонда к концу пятого года и современную стоимость потока платежей.

Определение наращенной суммы (величины фонда).

Аннуитет - это термин, имеющий несколько значений. В широком смысле его можно понимать как финансовый инструмент. Например, как вид срочного государственного займа или договор со страховой компанией. Но чаще под этим словом подразумевают систему внесения или получения средств, при которой платежи осуществляются равными суммами и через равные промежутки времени.

Примеры аннуитета

Большинство людей, далеких от финансов, впервые слышат это слово, когда обращаются в банк за кредитом, где им предлагают аннуитетную схему погашения.

Но аннуитет - это не обязательно график платежей заемщика по кредиту. Так могут называться выплаты по договору страхования жизни, когда страховщик выплачивает клиенту определенные суммы с установленной периодичностью.

Аналогичным образом называется выплата ренты или пенсии. Или подобный график может составляться, когда ставится цель накопить к конкретной дате некоторую сумму денег, внося одинаковые взносы на вклад в банке.

Но обычно аннуитетом все же называют способ выплаты кредита, поэтому именно на таком значении концентрируется внимание в этой статье.

Сегодня в России осталось мало банков, которые используют иную схему погашения. Метод аннуитета гарантирует кредитной организации получение прибыли, поскольку график составлен так, что заемщик в первую очередь возвращает проценты по долгу, а только затем приступает к погашению так называемого тела кредита - основной суммы.

Формула расчета аннуитетного кредитного платежа

Несмотря на простоту графика, формула аннуитета достаточно сложная. Записать ее можно разными способами. Например, так:

Pl =(S *pr/12)/(1-1/(1+pr/12) N) , где

• Pl - аннуитетный платеж;
• S - основная сумма кредита;
• pr - процентная ставка в коэффициентном выражении;
• N - количество платежных периодов (обычно месяцев).

Сам платеж остается неизменным в разные периоды, однако структура платежей отличается. В первые месяцы он преимущественно представляет собой внесение процентов, а ближе к концу срока кредита аннуитетные платежи почти полностью состоят из основной суммы.

Чтобы узнать структуру конкретного платежа, можно воспользоваться формулой, которая показывает процентную часть текущей выплаты. Для этого достаточно умножить остаток основного долга на 1/12 годовой процентной ставки.

Пример расчета аннуитетного платежа по кредиту

Вышеприведенная формула аннуитета станет понятнее, если разобрать ее на практическом примере.

Пусть клиент взял в банке кредит на 100 тыс. рублей сроком 12 месяцев и под 24% годовых. В таком случае ежемесячный аннуитетный платеж составит:

(100 000 * 0,24/12) / (1 - 1 / (1 + 0,24/12) 12 = 2000 / 0,2115 = 9 457

То есть 9 457 рублей заемщик будет ежемесячно перечислять в банк для возврата средств.

Теперь рассчитаем процентную часть для первого платежа:

100 000 * 0,24/12 = 2000 рублей - это сумма процентов, которые будут выплачены в первый месяц.

Поскольку общий платеж составляет 9 457 рублей, значит, 2000 рублей пойдут на погашение процентов, а 7 457 - на выплату основного долга.

В следующем месяце общая задолженность будет составлять: 100 000 - 7 457 = 92 543 рублей. Поэтому процентную часть нужно уже рассчитывать от этой суммы:

92 543 * 0,24/12 = 1851

Во втором месяце клиент заплатит 1851 рублей процентов и 5606 рублей основного долга.

Аналогичным образом делается расчет для каждого месяца.

Автоматический расчет платежей

Конечно, вручную производить вышеописанные вычисления трудоемко. Знать формулу аннуитета нужно лишь для понимания принципа его расчета. На практике необходимости сидеть с калькулятором нет смысла, поскольку этот процесс легко автоматизировать.

При оформлении кредита сотрудники банков распечатывают для заемщика график платежей. В нем даны все параметры каждого платежа: даты и размеры, а также отдельно суммы основного долга, процентов и дополнительных комиссий.

Также можно найти в сети Интернет специальные калькуляторы. Достаточно ввести в соответствующие поля сумму и срок кредита, а также процентную ставку. В режиме онлайн такой калькулятор выдаст не только размер ежемесячного платежа, но и примерный график погашения.

Наконец, если хорошо ориентируетесь в программе Excel, то можете рассчитать размер аннуитетного платежа с ее помощью, воспользовавшись функцией ПЛТ. Правда, график погашения таким способом не получить.

Плюсы аннуитета

Для клиента метод не всегда выгоден, зато удобен, поскольку не возникает путаницы: если применяется аннуитет, платежи вносятся каждый месяц в одной и той же сумме. Не нужно перед каждой выплатой обращаться в банк для расчета очередного взноса.

Также этот способ хорош при невысоких доходах заемщика. Помимо аннуитетной, существует дифференцированная схема, когда платеж пересчитывается ежемесячно, поскольку каждый раз выплачивается сумма процентов от текущей суммы долга. По мере внесения средств эта сумма уменьшается, поэтому и величина уплачиваемых процентов тоже снижается. Получается, что с каждым месяцем приходится отдавать в счет кредита все меньше денег, зато первые платежи получаются достаточно высокими, и не каждый заемщик может себе их позволить.

Недостатки аннуитета

В первую половину срока кредита в структуре платежей преобладают проценты. Поэтому аннуитет - это наиболее выгодная для банка схема выплат. И погашать досрочно кредиты с таким методом платежей целесообразно в первой половине срока займа. Далее это практически не имеет смысла, так как почти все проценты уже выплачены заранее. Поэтому полное досрочное погашение не даст заемщику экономии, ведь «процентную переплату» ему не вернут.

Показатели аннуитета

Если аннуитет рассматривается с точки зрения не заемщика, а кредитора или иного лица, в пользу которого осуществляются регулярные равные платежи (например, рента), то их необходимо оценивать для анализа поступлений.

На бытовом уровне мало кому пригождаются такие оценки. Они применяются при анализе и обосновании инвестиционных проектов, чтобы сопоставить текущие затраты и будущие денежные поступления.

Оценка аннуитетов производится с помощью следующих обобщающих показателей:

• будущая стоимость;
• текущая стоимость.

Будущая, или наращенная стоимость - сумма всех элементов аннуитета вместе с начисленными процентами на конец его срока. Элементы (или члены) аннуитета - это всего лишь те самые одинаковые платежи.

Показатель используется, если, например, нужно подсчитать сумму пополняемого вклада, которая будет накоплена к определенному моменту, если регулярно вносить средства под тот или иной процент.

Современная, или текущая стоимость аннуитета - это сумма элементов аннуитета, уменьшенных на момент начала его реализации. Показатель нужен для принятия решения о целесообразности инвестирования средств в актив, который будет приносить регулярный доход. То есть нужно выяснить, не окажется ли стоимость будущих доходов меньше цены актива.

Такие оценки также применяются, если необходимо подсчитать общую сумму переплаты при приобретении в кредит, чтобы понять, насколько выгоднее оплатить покупку сразу, не используя заемные средства. Или это нужно, чтобы сравнить два предлагаемых кредита с разными параметрами.

Таким образом, аннуитет - это серия платежей, вносимых или получаемых в равной сумме и через равные промежутки времени.

В данной статье, как Вам уже стало понятно, речь пойдет о стоимости аннуитета, с некоторыми из которых Вы уже познакомились из предыдущей статьи об аннуитете. Стоимость аннуитета может быть как будущей, так и приведенной, которые, в свою очередь, также подразделяются на несколько стоимостей.

Необходимость оценки аннуитета возникла давно и связана она с тем, что без оценки стоимости невозможно формирование, развитие и стабильной работы фондовой биржи в частности и всего рынка ценных бумаг в целом, как национального, так и международного. Но стоимость аннуитета, как и других видов финансовых инструментов может меняться со временем, что делает необходимым изобретения одной универсальной цены или нескольких, которые бы отвечали требованиям своевременности, правильности и актуальности. Никто ведь не хотел бы переплатить или недополучить денежных средств после совершения определенных действий на фондовой бирже. Ведь сегодня все отношения построены на деньгах, особенно на финансовом рынке, но без честности и добропорядочности невозможно само существование человечества, вот почему изобретения компьютера с его «незаинтересованностью» ни в чем позволяет утверждать, что сделки, которые проводятся на рынке ценных бумаг – это честные сделки и заключены по честной цене. Это и касается цены аннуитета, которая была сформирована, впервые при оценке стоимости аннуитета.

Стоимость аннуитета невозможно определить, так как никто не знает, что произойдет в будущем, но, в тоже время, можно узнать приведенную стоимость вечного аннуитета. Для этого надо использовать формулу: платеж по кредиту разделить на ставку процента. Для большего понимая приведу пример вечной ренты (аннуитета) – бессрочная государственная облигация (консоль) Великобритании, которая была эмиссирована в восемнадцатом веке и по которой производились выплаты дохода раз в полгода.

Определить будущую стоимость ренты (аннуитета) можно следующим образом: умножить формулу вышеназванную на (1+r), потому что каждый платеж будет производиться начисление процентов на один год больше, чем по отложенному аннуитета. Приведенную стоимость немедленной ренты (аннуитета) можно найти дисконтированием полученной формулы на (1+r)^n (дисконтирование – умножение).

Одним из способов определения приведенной стоимости немедленного аннуитета (также вечного) получим умножив вышеприведенную формулу на (1+r) и получим Pn = C/r * (1+r).

Формула аннуитета, а также расчет аннуитета представлены в данной статье, причем, так ка это практически идентичные понятия, в данной статье вначале будет представлена формула, а затем рассмотрен пример расчета аннуитета.

Теперь рассмотрим приведенную стоимость аннуитета, на которой прцоент начисляется один раз в год. Данная стоимость обозначает будущую стоимость, которая умножается (дисконтируется) ко времени учреждения, т.е. умножается на 1/ (1+r)^n. Формула аннуитета выглядит следующим образом Р = С/r, где Р – приведенная стоимость аннуитета.

Давайте лучше рассмотрим пример расчета приведенной стоимости (расчет аннуитета). С=100 (сто) рублей, процентная ставка = 15%, а количество лет инвестирования пять лет (5 лет). Приведенная стоимость аннуитета равна 100 ⁄ 0 ,15 = 3352,1551 рублей.

Попробуем интерпретировать данный результат с экономической точки зрения.

Например, Петров должен выплачивать все пять лет каждый год, причем в конце года должен выплачивать Иванову сто (100) рублей. Это можно сделать, разместив денежную сумму в банке под пятнадцать процентов годовых, причем разместить он должен уже посчитанную сумму 3352,1551 рублей (приведенная стоимость аннуитета).

Получается, что в конце года он получит (необходимо сумму, инвестированную Петровым умножить на процентную ставку банка 15 процентов годовых) и получим 385,50 рублей, из которой 100 рублей Петров использовал для погашения первого платежа. К конце четвертого года он получит 186,96 рублей из которых опять выплатит 100 рублей для погашения долга и данный платеж будет последним по аннуитету.

Таким образом, 5-й аннутиент (рента), возможно, заменить выплатой единовременной в размере 335,22 рубля в начале периода погашения ренты.

Приведенная стоимость аннуитета при выплате m раз в год необходимо приведенную стоимость аннуитета умножить (дисконтировать) будущую стоимость ренты (аннуитета) на (1+r/m)^mn.