В статистике не существует уровней ряда. Ряды динамики
Для получения обобщающих показателей динамики социально -- экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и пр.
Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.
В интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением суммы уровней на их число n (формула 12):
В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень определяется по формуле 13:
(13)
В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле 14:
где – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени.
Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростовделится на их число n (формула 15):
(15)
Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным и базиснымуровнями изучаемого периода, которая делится на m – 1субпериодов (формула 16):
(16)
Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами, показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17:
Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста применяется формула 18:
где Тр1 , Тр2 , ... , Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.
Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле 19:
(19)
На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста можно определить по формуле 20:
(20)
Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость, выраженная формулой 21:
(21)
(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)
25. Определение тенденции развития в рядах динамики
Тенденция (тренд) - направление развития определенного явления. В некоторых случаях тенденцию можно установить зная значения уровней ряда. По этим значениям строим эмпирический график зависимости y от t. В экономических процессах можно выделить следующие графические представления основных тенденций. Равномерный рост (снижение) представлено на рис. 6.1, замедленный рост (снижение) - на рис. 6.2, ускоренный рост (снижение) - на рис. 6.3. Если же под влиянием случайных факторов уровни ряда не проявляют четкой тенденции развития, то для ее выявления (описания) применяют специальные статистические методы. С этой целью производят сглаживание (укрупнение) ряда. К наиболее простым методам сглаживания ряда относятся методы ступенчатых (переменных) средних и скользящих средних. Ступенчатые средние – это средние вычисленные по укрупненным интервалам времени. При этом первичные (эмпирические) уровни заменяются средними уровнями. Укрупнение интервала обычно начинают с наименьшего, то есть объединяют два периода. При этом первичные уровни заменяются средними арифметическими для двух периодов, т.е. значениями; Число ступенчатых средних при этом равно целой части от n/m, где n – число первичных уровней ряда, m-число укрупняемых интервалов (в данном случае m=2). Если, при этом, тенденция еще не проявляется достаточно четко, то переходят к следующему интервалу, объединяющему три периода. При этом первичные уровни заменяются средними арифметическими для трех периодов, т.е. значениями; Число ступенчатых средних при этом равно целой части от n/3, где n – число первичных уровней ряда. При необходимости вычисляют средние для 4-х периодов и так далее. Скользящие средние - это средние вычисленные по увеличенным интервалам при последовательном передвижении на один интервал. Период скользящей средней может быть четным и нечетным. Рекомендуется использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине укрупняемого интервала. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной двум, следующие: Скользящие средние с продолжительностью периода, равной трем, следующие: Число скользящих средних равно где n – число уровней исходного ряда, m – величина периода. Для четного периода иногда выполняют центрирование данных, т. е. находят средние из средних и определяют серединный период. При вычислении указанных средних колебания динамического ряда сглаживаются, но недостатком метода есть то, что сглаженный ряд короче эмпирического. Кроме того, новый ряд из средних лишь иллюстрирует тенденцию, но не дает возможности количественно ее измерять. Если в динамическом ряду наблюдаются периодические колебания, то укрупненный интервал следует брать равным периоду колебания. Укрупненные интервалы «сглаживают» случайные колебания, но не отображает изменение уровней внутри увеличенного интервала. Проявить тенденцию и количественно ее измерять дает возможность метод аналитического выравнивания. Суть этого метода состоит в том, что находятся уравнения, выражающие закономерность изменения процесса (явления) как функцию времени При этом применяются трендовые модели - математические функции, с помощью которых описывается основная тенденция. Вид трендовой модели зависит от специфики процесса, характера его динамики: равномерное, ускоренное или замедленное возрастание или уменьшение уровней ряда. Выбор вида уравнения может быть основан на анализе рассчитанных показателях динамики или на эмпирическом графике ряда динамики, а именно: · если относительно постоянны абсолютные приросты (график 6.1) используется линейная функция · если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (уменьшаются) можно использовать параболу второго порядка (квадратичную функцию) · если абсолютные приросты ускоренно возрастают (уменьшаются) (графики 6.2-6.3) можно использовать гиперболическую функцию · если относительно стабильны темпы роста можно использовать показательную функцию. Неизвестные коэффициенты a, b или c проще всего определять с помощью метода наименьших квадратов (НМК). В этом случае приходим к необходимости решения систем уравнений для нахождения этих коэффициентов, аналогично тому как при корреляционно регрессионном анализе. Данная система будет более простой, если за начало отсчета выбрать середину ряда. При этом периоды времени обозначаются натуральными числами (положительными и отрицательными). Иногда возникает необходимость в нахождении отсутствующих промежуточных уровней ряда. Эта процедура имеет название интерполяции и проводится из обзора общей тенденции развития за период, который исследуется. При прогнозировании экономических показателей используют другое статистическое средство - экстраполяцию. При этом вычисляют значения уровней за пределами имеющихся фактических данных. При экстраполяции выходят из предположения, что выявленная тенденция будет сохраняться и в дальнейшем. Для проведения этой операции необходимо в уравнение тренда подставить значение t в соответствии с продолжением исходного ряда и рассчитать значение уровня ряда. Кроме того, интерполяцию и экстраполяцию можно осуществлять с помощью многочленов Лагранжа или Ньютона. В последние годы для интерполирования используются кубические сплайны.
Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента . Показатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение, базисным. Для расчета показателей анализа динамики на постоянной базе, каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо начальный уровень в ряду динамики, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Исчисляемые, при этом, показатели называются базисными. Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе, каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа динамики называются цепными. Важнейшим статистическим показателем анализа динамики является абсолютный прирост (сокращение), т.е. абсолютное изменение , характеризующее увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста .
Абсолютный прирост:
Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени
Для оценки интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени, исчисляют темпы роста (снижения) . Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному. Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах – темпом роста. Эти показатели интенсивности отличаются только единицами измерения. Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть (долю) уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.
Коэффициент роста:
Темп роста:
Таким образом,
Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь (если базисные коэффициенты исчислены по отношению к начальному уровню ряда динамики): произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь период:
а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.
Относительную оценку скорости измерения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения). Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах или в долях единицы (коэффициенты прироста).
Темп прироста:
Темп прироста (сокращения) можно получить, если из темпа роста, выраженного в процентах, вычесть 100%:
Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:
При анализе динамики развития следует также знать, какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называют абсолютным значением (содержанием) одного процента прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за этот период времени, %:
- Абсолютного прироста ;
- Коэффициента роста ;
- Темпа прироста ;
- Значение 1% прироста .
Базисная схема предусматривает сравнение анализируемого показателя (уровня ряда динамики ) с аналогичным, относящегося к одному и тому же периоду (году). При цепном методе анализа каждый последующий уровень ряда сравнивается (сопоставляется) с предыдущим.
|
Год |
Усл. обоз |
Объем произ-ва млн.руб. |
Абсолютный прирост |
Темп роста |
Темп прироста |
Знач. 1% прироста |
|||
|
баз. |
цепн. |
баз. |
цепн. |
баз. |
цепн. |
П=А i /T i П=0.01Y i-1 |
|||
|
Y i -Y 0 |
Y i -Y i-1 |
Y i /Y 0 |
Y i /Y i-1 |
T=T р -100 |
|||||
|
2000 |
Y 0 |
17,6 |
|||||||
|
2001 |
Y 1 |
18,0 |
0,17 |
||||||
|
2002 |
Y 2 |
18,9 |
0,18 |
||||||
|
2003 |
Y 3 |
22,7 |
0,19 |
||||||
|
2004 |
Y 4 |
25,0 |
0,23 |
||||||
|
2005 |
Y 5 |
30,0 |
12,4 |
0,25 |
|||||
|
2006 |
Y 6 |
37,0 |
19,4 |
0,30 |
|||||
|
169,2 |
19,4 |
||||||||
Определение среднегодовых показателей с применением формул расчета для средней (средняя арифметическая простая, средняя геометрическая простая).
1) Опр. среднегодовой абсолютный прирост :
2) Опр. среднегодовой коэффициент (темп) роста :
Либо по средней геометрической простой :
3) Опр. среднегодовой темп прироста :
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).
Ряд динамики (или временной ряд) - это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (т.е. расположенные в хронологическом порядке).
Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики, называют уровнями ряда и обычно обозначают буквой y . Первый член ряда y 1 называют начальным или базисным уровнем , а последний y n - конечным . Моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, обозначают через t .
Ряды динамики, как правило, представляют в виде или , причем по оси абсцисс строится шкала времени t , а по оси ординат - шкала уровней ряда y .
Пример ряда динамики
Таблица. Число жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января
График ряда динамики числа жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января
Данные и наглядно иллюстрируют ежегодное снижение числа жителей России в 2004-2009 годах.
Виды рядов динамики
Ряды динамики классифицируются по следующим основным признакам:
- По времени — ряды моментные и интервальные (периодные) , которые показывают уровень явления на конкретный момент времени или на определенный его период. Сумма уровней интервального ряда дает вполне реальную статистическую величину за несколько периодов времени, например, общий выпуск продукции, общее количество проданных акций и т.п. Уровни моментного ряда, хотя и можно суммировать, но эта сумма реального содержания, как правило, не имеет. Так, если сложить величины запасов на начало каждого месяца квартала, то полученная сумма не означает квартальную величину запасов.
- По форме представления — ряды абсолютных, относительных и средних величин.
- По интервалам времени — ряды равномерные и неравномерные (полные и неполные), первые из которых имеют равные интервалы, а у вторых равенство интервалов не соблюдается.
- По числу смысловых статистических величин — ряды изолированные и комплексные (одномерные и многомерные) . Первые представляют собой ряд динамики одной статистической величины (например, индекс инфляции), а вторые — нескольких (например, потребление основных продуктов питания).
В нашем ряд динамики: 1) моментный (приведены уровни на 1 января); 2) абсолютных величин (в млн.чел.); 3) равномерный (равные интервалы в 1 год); 4) изолированный.
Показатели изменения уровней ряда динамики
Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровней во времени, для рядов динамики рассчитывают показатели изменения уровней ряда динамики :
- абсолютное изменение (абсолютный прирост);
- относительное изменение (темп роста или индекс динамики);
- темп изменения (темп прироста).
Все эти показатели могут определяться базисным способом, когда уровень данного периода сравнивается с первым (базисным) периодом, либо цепным способом - когда сравниваются два уровня соседних периодов.
Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяется по формуле
i -того) периода больше или меньше первого (базисного) уровня, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «-» (при уменьшении уровней).
Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяется по формуле
Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i -того) периода больше или меньше предыдущего уровня, и может иметь знак «+» или «-».
В в столбце 3 рассчитаны базисные абсолютные изменения, а в столбце 4 - цепные абсолютные изменения.
| Год | y | , % | ,% | ||||
| 2004 | 144,2 | ||||||
| 2005 | 143,5 | -0,7 | -0,7 | 0,995 | 0,995 | -0,49 | -0,49 |
| 2006 | 142,8 | -1,4 | -0,7 | 0,990 | 0,995 | -0,97 | -0,49 |
| 2007 | 142,2 | -2,0 | -0,6 | 0,986 | 0,996 | -1,39 | -0,42 |
| 2008 | 142,0 | -2,2 | -0,2 | 0,985 | 0,999 | -1,53 | -0,14 |
| 2009 | 141,9 | -2,3 | -0,1 | 0,984 | 0,999 | -1,60 | -0,07 |
| Итого | -2,3 | 0,984 | -1,60 |
Между базисными и цепными абсолютными изменениями существует взаимосвязь : сумма цепных абсолютных изменений равна последнему базисному изменению, то есть
.
В нашем подтверждается правильность расчета абсолютных изменений: = - 2,3 рассчитана в итоговой строке 4-го столбца, а = - 2,3 - в предпоследней строке 3-го столбца .
Базисное относительное изменение (базисный темп роста или базисный индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле
Цепное относительное изменение (цепной темп роста или цепной индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле
.
Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при i >1) или какую его часть составляет (при i <1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов , то есть простого кратного отношения (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.
В нашем в столбце 5 найдены базисные относительные изменения, а в столбце 6 – цепные относительные изменения.
Между базисными и цепными относительными изменениями существует взаимосвязь: произведение цепных относительных изменений равно последнему базисному изменению, то есть
В нашем примере про число жителей России подтверждается правильность расчета относительных изменений: = 0,995*0,995*0,996*0,999*0,999 = 0,984 - рассчитано по данным 6-го столбца, а = 0,984 - в предпоследней строке 5-го столбца .
Темп изменения
(темп прироста) уровней - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100%, то есть по формуле:
,
Или как процентное отношение абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле:
.
В нашем в столбце 7 найдены базисные темпы изменения, а в столбце 8 – цепные. Все расчеты свидетельствуют о ежегодном снижении числа жителей в России за период 2004-2009 гг.
Средние показатели ряда динамики
Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.
Обобщенной характеристикой ряда динамики может служить прежде всего средний уровень ряда . Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный (периодный).
В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле из уровней ряда, т.е.
=
Если имеется моментный
ряд, содержащий n
уровней (y1,
y2, …, yn
) с равными
промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у
на начало и конец периода, т.е. как . Количество таких средних будет . Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать
.
После преобразования числителя получаем
,
Где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда; Yi — промежуточные уровни.
Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов. Такое название она получила от слова «cronos» (время, лат.), так как рассчитывается из меняющихся во времени показателей.
В случае неравных
промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.
.
В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принимали разные значения, и мы из двух известных (yi
и yi+1
) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода.
Если же предполагается, что каждое значение yi
остается неизменным до следующего (i+
1)-
го момента, т.е. известна точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной:
,
Где - время, в течение которого уровень оставался неизменным.
Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения .
Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть
Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть
По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.
Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения , по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.
Ряд динамики, или временной ряд, -- это ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений некоторого статистического показателя, который характеризует изменение общественных или природных явлений во времени.
Каждый ряд динамики состоит из двух основных параметров: времени (?) и уровня ряда (у) (конкретное значение показателя). Уровни ряда динамики (у) могут быть абсолютными, средними или относительными показателями.
С помощью анализа рядов динамики можно обнаружить и измерить закономерности развития социально-экономических или природных явлений во времени. Данные закономерности не проявляются на каждом конкретном уровне, они проступают лишь в тенденции, на достаточно длительном промежутке времени. На главную закономерность динамики накладываются другие закономерности, в частности случайные и сезонные. Обнаружение основной тенденции изменения уровней в рядах динамики, которую называют трендом, - одна из основных задач анализа временных рядов.
В зависимости от характера изучаемого процесса уровни динамических рядов могут относиться или к определенным моментам (датам), например к началу или концу года, месяца, или к определенным периодам времени (год, квартал, месяц). Ряды первого вида называются моментными, а второго -- интервальными.
Моментные ряды динамики характеризуют изучаемый процесс на конкретные моменты времени. Пример моментального ряда приведен в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Так как в каждом последующем уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня, то суммировать уровни моментного ряда нельзя, потому что это приводит к повторному счету.
Интервальные, или периодические, ряды динамики отображают итоги развития изучаемых процессов за отдельные периоды времени. Пример интервального ряда приведен в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Динамика уличных преступлений в РФ
Значения уровней интервального ряда не содержатся в предыдущих и последующих уровнях ряда, поэтому их можно суммировать, а это позволяет получать ряды динамики с укрупненными периодами.
Например, если просуммировать уровни ряда (табл. 8.2), то мы получим количество уличных преступлений в РФ с 1991 по 1995 г.
Периодический ряд, в котором последовательные уровни суммируются, можно представить как ряд с нарастающими итогами. При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого явления с начала отчетного периода (месяца, квартала, года и т. д.).
По расстоянию между уровнями динамические ряды подразделяются на ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями по времени.
Примером динамического ряда с равноотстоящими уровнями является табл. 8.2.
Динамические ряды могут изображаться графически. Графическое изображение наглядно показывает развитие изучаемого процесса во времени и помогает проведению анализа уровней ряда. Наиболее распространенными видами графических изображений являются линейная диаграмма (она строится в прямоугольной системе координат), столбиковая диаграмма и др.
На рис. 8.1 представлена линейная диаграмма, полученная по динамическому ряду уличных преступлений в РФ (см. табл. 8.2).
При составлении рядов динамики надо соблюдать определенные правила: главным для получения правильных выводов при анализе рядов динамики и прогнозировании его уровней является сопоставимость его элементов между собой.
Уровни рядов динамики должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, по времени регистрации, по единицам измерения, по методам расчета и т. д. Надо иметь в виду, что сопоставляемые уровни динамического ряда должны быть однородны по своему содержанию и границам объекта, который они характеризуют.
Несопоставимость может появиться из-за перехода ряда предприятий отрасли из одного подчинения в другое. Но сопоставимость не нарушится, если в отрасли введены в строй новые предприятия.
Сопоставимость по времени фиксации для интервальных рядов обеспечивается одинаковостью интервалов времени, за которые приводятся данные. В случае моментных динамических рядов параметры надо приводить на одну и ту же дату.
При нахождении уровня ряда динамики надо использовать единую методологию расчета. Например, до 1958 г. уровень производительности труда в промышленности вычислялся в расчете на одного рабочего, а с 1958 г. начал определяться в расчете на одного работающего (с включением ИТР, служащих, подсобных рабочих). Следовательно, уровни производительности труда, найденные до 1958 г., надо пересчитывать по новой методологии, чтобы они были сравнимы с уровнями, полученными после 1958 г.
Если уровни динамических рядов имеют разные единицы измерения, то их необходимо пересчитать к какой-то одной единице.
В некоторых случаях несопоставимость в рядах динамики может быть устранена с помощью приема, называемого смыканием рядов динамики.
Предположим, есть два ряда, которые характеризуют динамику одного и того же явления в новых и старых границах по одному и тому же кругу объектов. Такие динамические ряды можно сомкнуть.
Рассмотрим смыкание рядов динамики на конкретном примере.
Пример 8.1
До 1994 г. в УК РСФСР был один перечень тяжких преступлений, а в 1997 г. (после вступления в силу УК 1996 г.) его принципиально изменили. Поэтому обычный ряд динамики за 1991-1997 гг. не может быть составлен, так как имеющиеся данные несопоставимы.
В табл. 8.3 заданы два ряда: один (1991-1994 гг.) - по старому перечню тяжких преступлений, другой (1994-1996 гг.) - по новому, расширенному. Необходимо сомкнуть эти два динамических ряда.
Таблица 8.3
Динамика тяжких преступлений в городе N
|
Старый перечень |
||||||
|
Новый перечень |
||||||
|
Сомкнутый ряд |
Для смыкания приведенных рядов по данным 1994 г. вычисляем коэффициент соотношения соответствующих уровней двух рядов:
Умножаем на этот коэффициент уровни первого ряда (1991-1994 гг.) и находим скорректированные данные за 1991-1994 гг., т. е.
Сомкнутый сопоставимый динамический ряд представлен в четвертой строке табл. 8.3. Заметим, что результаты, которые получены путем смыкания рядов, являются приближенными и содержат некоторую ошибку.
Различные экономические и другие показатели, которые даны за определённый период времени или по состоянию на некоторый момент, широко используются в практической статистике. Информация, основанная на этих показателях, называется рядами динамики . Абсолютные значения исследуемого явления в ряде динамики по состоянию на соответствующий период времени или момент называются уровнями ряда динамики. На их основе вычисляются важнейшие показатели рядов динамики и в математическом плане нужно лишь складывать, вычитать, делить, умножать и извлекать корень, а также помнить, что нельзя менять хронологическую последовательность уровней ряда динамики. А ещё на основе уже зафиксированных уровней ряда динамики можно прогнозировать значения уровней для будущих периодов и здесь уже начинается "взрослая" математика.
Цепные и базисные показатели рядов динамики и их вычисление
Главными показателями, характеризующими абсолютные и относительные изменения рядов динамики являются: абсолютный прирост (снижение), темп роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста (снижения) .
Показатели рядов динамики по характеру их вычисления делятся на цепные и базисные .
Цепные показатели рядов динамики характеризуют интенсивность изменений от одного периода к другому периоду. Цепные показатели получают, сравнивая (вычитая или деля) два соседних уровня ряда динамики - следующий уровень и предыдущий уровень. Цепные показатели не зависят от длины ряда динамики и от того, какой уровень принят за его начало.
Базисные показатели рядов динамики - это показатели с постоянным базисом (началом). Они характеризуют конечные результаты всех изменений ряда динамики в сравнении с периодом (моментом), который принят за базисный период (момент).
Базисные показатели вычисляют, сравнивая каждый уровень ряда динамики с одним и тем же уровнем, принятым за базис. Обычно это первый (начальный) уровень ряда, хотя, если это продиктовано задачей анализа, за базисный уровень можно принять любой другой уровень. Если начальный уровень ряда динамики для изучаемого явления или процесса представляет нетипично высокий или нетипично низкий, то рассчитанные по сравнению с ним показатели рядов динамики могут оказаться мало полезными для задачи анализа.
Введём следующие обозначения:
- Y - обозначение уровня ряда динамики в общем виде;
- Y 1 - первый (начальный) уровень ряда динамики;
- Y n - последний уровень ряда динамики;
- Y m - какой-либо уровень ряда динамики.
Будем рассчитывать показатели для ряда динамики, данного в следующей таблице:
Таблица. Объёмы экспорта предприятия "Х", в миллионах руб.
| Год | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| Объём | 1256,4 | 1408,8 | 1650,6 | 2150,0 | 2888,2 |
Абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютные изменения уровней рядов динамики - прирост или снижение - по сравнению с каким-либо достигнутым уровнем. Различается цепной и базисный абсолютный прирост (снижение).
Цепной абсолютный прирост (снижение) вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики предыдущего уровня того же ряда.
Пример 1. Вычислим цепной абсолютный прирост:
Δа (ц ) = Y m − Y m−1
Δц (2014 ) = 1408,8 − 1256,4 = 152,4 .
Δц (2015 ) = 1650,6 − 1408,8 = 241,8 .
Δц (2016 ) = 2150,0 − 1650,6 = 499,4 .
Δц (2017 ) = 2888,2 − 2150,0 = 738,2 .
Общий объём экспорта предприятия "Х" с 2013 по 2017 годы составляет Δц (2014 ) + Δц (2015 ) + Δц (2016 ) + Δц (2017 ) = 1631,8 млн. руб.
Базисный абсолютный прирост вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики начального уровня ряда, который принимается за базис.
Пример 2. Вычислим базисный абсолютный прирост:
Δа (б ) = Y m − Y 1
Δб (2014 ) = 1408,8 − 1256,4 = 152,4 .
Δб (2015 ) = 1650,6 − 1256,4 = 394,2 .
Δб (2016 ) = 2150,0 − 1256,4 = 893,6 .
Δб (2017 ) = 2888,2 − 1256,4 = 1631,8 .
Между цепным и базисным абсолютным приростами существует математическая взаимосвязь : сумма цепных абсолютных приростов (снижений) равна базисному абсолютному приросту (снижению), соответствующему последнему уровню ряда динамики:
Показатель интенсивности изменения ряда динамики, в зависимости от того, выражен он в виде коэффициента или в процентах, называется коэффициентом роста или темпом роста.
Коэффициент роста показывает, во сколько раз соответствующий уровень ряда динамики больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня представляет уровень отчётного периода (если он меньше единицы).
Темп роста характеризует скорость развития исследуемого явления.
Коэффициент роста и темп роста - это две формы выражения интенсивности изменений и разница между ними только в единицах измерения.
Коэффициент роста × 100 = темп роста, %.
Если абсолютные уровни исследуемого явления снижаются, то темп роста меньше единицы (меньше 100 %), однако он никогда не может быть отрицательным числом . Существуют цепные и базисные темпы роста. Цепной темп роста вычисляется путём деления уровня ряда динамики на предыдущий уровень ряда:
Общий темп роста за весь период вычисляется путём умножения всех темпов роста:
Пример 3. Вычислим цепные темпы роста:
T ц (2014 ) = 1408,8: 1256,4 = 1,121 = 112,1 % .
T ц (2015 ) = 1650,6: 1408,8 = 1,172 = 117,2 % .
T ц (2016 ) = 2150,0: 1650,6 = 1,303 = 130,3 % .
T ц (2017 ) = 2888,2: 2150,0 = 1,343 = 134,3 % .
Общий темп роста за весь период:
T ц (2014-2017 ) = 1,121 × 1,172 × 1,303 × 1,343 = 2,299 = 229,9 % .
Базисный темп роста вычисляют путём деления какого-либо уровня ряда динамики на начальный уровень, который считают базисным:
Пример 4. Вычислим базисные темпы роста:
T б (2014 ) = 1408,8: 1256,4 = 1,121 = 112,1 % .
T б (2015 ) = 1650,6: 1256,4 = 1,319 = 131,9 % .
T б (2016 ) = 2150,0: 1256,4 = 1,711 = 171,1 % .
T б (2017 ) = 2888,2: 1256,4 = 2,299 = 229,9 % .
Между цепным и базисным темпами роста существует математическая взаимосвязь : произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста для последнего уровня ряда динамики:
Коэффициент прироста показывает, на какую часть целого увеличился или уменьшился соответствующий уровень ряда динамики по сравнению с каким-либо достигнутым уровнем, а темп прироста - на сколько процентов. Темп прироста вычисляется путём вычитания из темпа роста единицы (если используется коэффициент роста) или 100 процентов (если темп роста выражен в процентах).
Таким образом, формулы для вычисления коэффициента прироста:
K пр (ц ) = T р (ц ) − 1
K пр (б ) = T р (б ) − 1 .
Например,
1,299 = 2,299 − 1,0 .
Формулы для вычисления темпа прироста:
T пр (ц ) = T р (ц ) − 100 %
T пр (б ) = T р (б ) − 100 % .
Например,
129,9 = 229,9 % − 100,0 % .
В отличие от темпов роста, темпы прироста могут быть и отрицательными числами . В этом случае они показывают, на какую часть целого или на сколько процентов снизился уровень исследуемого явления.
Между цепным и базисным темпами прироста нет математической взаимосвязи.
Абсолютное значение 1 процента прироста (снижения) выражает реальное содержание темпа прироста (снижения). На практике могут встречаться значительные темпы прироста, но совсем ничтожное абсолютное увеличение явления и наоборот - небольшие темпы прироста, но значительное увеличение. Абсолютное значение 1 процента прироста (снижения) рассчитывается путём деления суммы цепных абсолютных приростов или базисного абсолютного прироста на темп прироста:
.
Например,
Средние значения показателей рядов динамики
Средние значения показателей рядов динамики выражают уровни и типичные значения их изменений в определённый период времени. Прежде чем рассматривать средние значения показателей рядов динамики, разграничим понятия интервальных и моментных рядов динамики.
Интервальные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления за некоторый период времени, например, за месяц, за год, за пять лет. Моментные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления в какой-то определённый момент времени, например, на начало или конец месяца, начало или конец года и так далее. В предыдущем параграфе мы рассматривали интервальный ряд динамики и его показатели.
Средний уровень интервального ряда динамики вычисляется путём деления суммы уровней ряда на число уровней:
.
Пример 5. Вычислить среднегодовой объём экспорта предприятия "Х".
Решение. Вычислим средний уровень по формуле для интервального ряда динамики:
Средний уровень моментного ряда динамики , если между моментами - равные промежутки времени, вычисляется по формуле средней хронологической:
.
Пример 6. Вычислить среднее число сотрудников предприятия "Х" на начало года. В таблице ниже даны значения числа сотрудников на начало каждого года с 2013 по 2017 годы.
Решение. Вычисляем по формуле хронологической средней:
Если между моментами ряда динамики - не равные промежутки времени, средний уровень моментного ряда вычисляется по формуле средней хронологической взвешенной:
В этой формуле y 1 - y n - уровни ряда динамики, t 1 - t n - периоды времени, например, 1 месяц, 2 месяца, 1 год, 2 года, 3 года... Все периоды времени должны выражаться в одной и той же единице измерения (днях, месяцах, годах и др.).
Средний абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютную величину, на которую в среднем в каждую единицу времени в соответствующий период выросли или снизились показатели исследуемого явления. Его вычисляют путём деления суммы цепных абсолютных приростов на число абсолютных приростов:
,
где - число абсолютных приростов.
Если нет данных о цепных абсолютных приростах, но известны начальный и конечный уровни ряда динамики, то средний абсолютный прирост можно вычислить через базовый абсолютный прирост по формуле
Пример 7. Используя данные об экспорте предприятия "Х", вычислить среднегодовой прирост экспорта.
Решение. Вычислим интересующий нас показатель через сумму цепных абсолютных приростов:
.
Вычислим его же через базовый абсолютный прирост:
Как видим, получили один и тот же результат.
Средний темп роста является показателем изменения интенсивности изменения уровней ряда динамики. Он характеризует среднюю интенсивность развития исследуемого явления, показывая, во сколько раз в среднем в единицу времени изменились уровни ряда динамики. Средний темп роста можно выразить в коэффициентах или процентах.
Цепной средний темп роста вычисляется по формуле среднего геометрического:
,
где n - число цепных темпов роста,
T - индивидуальные цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах.
Если нет информации о каждом цепном темпе роста, средний темп роста можно вычислить по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики
Пример 8. Вычислить средний темп роста экспорта предприятия "Х".
Решение. Вычисляем по формуле среднего геометрического:
Вычисляем по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики:
.
Получили один и тот же результат.
Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем увеличился (если он со знаком "плюс") или уменьшился (если со знаком "минус") уровень исследуемого явления в течение всего рассматриваемого периода. Средний темп прироста вычисляется путём вычитания из среднего темпа роста 100% (если он выражен в процентах) или единицы (если он выражен в виде коэффициента).
В нашем примере:
Прогнозирование уровней рядов динамики
Модели на основе средних значений могут быть использованы, когда значение уровня ряда динамики колеблется вокруг среднего значения и в ряде нет какой-либо ярко выраженной тенденции (тренда).
Метод скользящей средней
В прогнозировании значение скользящей средней (обозначим её M t ) вычисляется по формуле
,
где N - длина интервала сглаживания.
В этом случае среднее значение, которое используется для прогноза, является адаптивным средним. При пронозировании принимается, что это адаптивное среднее значение является самым лучшим (наиболее вероятным) значением для следующего периода. Обозначим прогнозируемое значение через F t . Тогда
F t+1 = M t .
Пример 9. Рассмотрим пример с данными об объёмах продаж холодильников предприятия "Х" по месяцам.
При рассмотрении графика объёма продаж видно, что изменения объёма не подвержены какой-либо долгосрочной тенденции или тренду, объёмы продаж колеблются вокруг среднего значения.
Поэтому при расчёте прогноза можно использовать среднее значение. Вычислим значения скользящей средней по приведённой выше формуле:
для третьего месяца - 
,
для четвёртого месяца - 
Результаты даны в третьем столбце таблицы (для первых двух месяцев по этой формуле скользящие средние вычислить невозможно).
| Месяцы t | Объёмы продажи холодильников y t | Скользящая средняя M t |
| 1 | 113 | - |
| 2 | 117 | - |
| 3 | 112 | 114 |
| 4 | 113 | 114 |
| 5 | 108 | 111 |
| 6 | 112 | 111 |
| 7 | 116 | 112 |
| 8 | 120 | 116 |
| 9 | 121 | 119 |
| 10 | 113 | 118 |
| 11 | 111 | 115 |
| 12 | 118 | 114 |
| Прогноз F t | Погрешность прогноза ε t |
| - | - |
| - | - |
| - | - |
| 114 | -1 |
| 114 | -6 |
| 111 | 1 |
| 111 | 5 |
| 112 | 8 |
| 116 | 5 |
| 119 | -6 |
| 118 | -7 |
| 115 | 3 |
Наиболее вероятные прогнозы на каждый месяц по соответствующей формуле даны в четвёртом столбце таблицы. Прогноз на первый месяц следующего года F 13 = 114 можно сделать по данным трёх последних месяцев.
При использовании модели среднего значения прогнозы зависят от длины интервала сглаживания. Поэтому закономерен вопрос: как выбрать интервал и какая величина - "лучшая" для интервала? Для ответа на этот вопрос нужно оценить погрешность прогноза среднего для различных интервалов сглаживания и выбрать тот, у которого случайная ошибка прогноза - наименьшая.
Погрешность прогноза для каждого момента времени вычисляется по формуле
ε t = y t − F t .
Среднюю погрешность прогноза на основе скользящей средней обычно вычисляется как среднее абсолютное отклонение, которое обозначается MAD (Mean Absolute Deviation):
где n - число вычисленных ошибок.
При оценке прогноза можно использовать также среднюю квадратическую погрешность и среднюю абсолютную процентную ошибку.
Средняя квадратическая погрешность MSE (Mean Squared Error) вычисляется по формуле
.
Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE (Mean Absolute Percenting Error) вычисляется по формуле
.
Пример 10. В нашем случае, когда N =3, MAD=4,67. Для значений N от 2 до 6 значения MAD следующие:
| N | MAD |
| 2 | 4,50 |
| 3 | 4,67 |
| 4 | 4,78 |
| 5 | 4,11 |
| 6 | 4,42 |
На основе этих значений погрешности можем сделать вывод, что при использовании интервала сглаживания длиной в пять периодов можно получить наилучший прогноз с точки зрения минимального среднего абсолютного отклонения. С использованием такого интервала сглаживания получаем прогноз: наиболее вероятно, что в первый месяц следующего года будут проданы 116 холодильников:
F 13 = (118 + 111 + 113 + 121 + 120)/5 = 116,6 .
При использовании формулы значения скользящей средней каждому уровню ряда динамики в границах периода сглаживания присваивается один и тот же вес. Так, если N =3, то вес соответствует 1/3, поэтому формулу в этом случае можно записать так:
M t = (1/3)y t + (1/3)y t−1 + (1/3)y t−2 .
Но можно использовать и скользящие средние значения с различными весами - так называемые скользящие средневзвешенные. При этом нужно соблюдать условие: сумма весов равна единице. Например, при N =3 можно использовать весы 3/5, 1/5, 1/5. В этом случае
M t = (3/5)y t + (1/5)y t−1 + (1/5)y t−2 .
Модели прогнозирования на основе скользящей средней и скользящей средневзвешенной имеют существенный недостаток: для вычисления пронозируемого значения используются только последние N уровней ряда динамики и только для вычисления погрешности используются предыдущие n − N уровней. Поэтому для прогнозирования средних значений рядов динамики используются и другие методы.
Метод экспоненциальной средней (экспоненциального сглаживания)
Основная формула значения экспоненциальной средней:
F t+1 = αy t + (1 − α )F t ,
где α - параметр экспоненциального сглаживания, который может принимать значения от 0 до 1.
Таким образом, прогноз для каждого следующего периода строится на среднем взвешенном значении предыдущего уровня ряда динамики и значении предыдущего прогноза. Например, для прогноза значения четвёртого уровня ряда динамики формула будет следующей:
F 4 = αy 3 + (1 − α )F 3 ,
для прогноза третьего уровня
F 3 = αy 2 + (1 − α )F 2 ,
для прогноза второго уровня
F 2 = αy 1 + (1 − α )F 1 . ,
То есть в прогнозе используется среднее взвешенное значение от y 3 и F 3 с весами α и 1 − α .
В общем случае прогноз на каждый следующий период является средней взвешенной величиной от всех предыдущих уровней ряда динамики.
Вернёмся к уравнениям прогноза значений третьего и четвёртого уровней ряда динамики. Подставляя каждое следующее уравнение в предыдущее, получаем
или в общем виде
.
Таким образом, в общем случае прогнозируемое значение вычисляется с использованием всех уровней ряда динамики путём их умножения на соответствующие коэффициенты (весы): или .
Так как параметр экспоненциального сглаживания α принимает значения от 0 до 1, эти коэффициенты образуют убывающую геометрическую прогрессию с первым членом a 1 = α и квоциентом q = 1 − α . То есть они подчинены экспоненциальному закону распределения. Например, если α = 0,5 , то α (1 − α ) = 0,25 , α (1 − α )² = 0,125 и так далее. Если α = 0,2 , то α (1 − α ) = 0,16 , α (1 − α )² = 0,128 и так далее. На графике можно видеть, что весы экспоненциально убывают, но в первом случае более стремительно, а во втором - медленнее.
В зависимости от величины параметра экспоненциального сглаживания α различным уровням ряда динамики можно присвоить различные весы. Например, если о прогнозируемом показателе известно, что на его будущие значения больше влияют более близкие из предыдущих уровней ряда, то параметр α должен быть больше, чем в случае, когда бОльшее влияние оказывают более ранние значения ряда динамики. А если бОльшее влияние оказывают более ранние значения, то параметр α должен быть меньше.
В практических вычислениях принимают, что F 1 = y 1 , так как необходимые для вычисления F 1 значения y 0 и F 0 неизвестны.
Пример 11. Сделаем прогноз методом экспоненциального сглаживания для ряда динамики, содержащего данные об объёмах продажи холодильников предприятия "Х" из предыдущих примеров.
F 1 = y 1 = 113,0
F 2 = 0,2⋅113 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,0
F 3 = 0,2⋅117 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,8
F 4 = 0,2⋅112 + (1 − 0,2)⋅113,8 = 113,44
Прогноз на первый месяц следующего года:
F 13 = 0,2⋅118 + (1 − 0,2)⋅114,33 = 115,06 .
Значения экспоненциальной средней, если принимаем, что α = 0,2 , даны в третьем столбце таблицы.
| Прогноз (α = 0,2 ) F t | Погрешность прогноза ε t |
| 113,0 | 0 |
| 113,0 | 4 |
| 113,8 | -1,8 |
| 113,44 | -0,44 |
| 114,35 | -6,35 |
| 112,28 | -0,28 |
| 112,23 | 3,77 |
| 112,98 | 7,02 |
| 114,38 | 6,62 |
| 115,71 | -2,71 |
| 115,17 | -4,17 |
| 114,33 | 3,67 |
Прогноз можно уточнить, если выбрать более оптимальное значение α : такое, при использовании которого средняя погрешность прогноза - наименьшая. Выберем MSE в качестве величины, характеризующей погрешность. Эта погрешность для различных значений α следующая:
| α | MSE |
| 0,01 | 4,01 |
| 0,02 | 4,00 |
| 0,05 | 3,97 |
| 0,10 | 3,97 |
| 0,15 | 3,98 |
| 0,20 | 4,02 |
| 0,25 | 4,05 |
| 0,30 | 4,08 |
| 0,35 | 4,13 |
| 0,40 | 4,16 |
| 0,45 | 4,20 |
| 0,50 | 4,23 |
Видим, что наименьшая погрешность прогноза для данного ряда динамики при использовании метода экспоненциального выравнивания соответствует значениям α от 0,05 до 0,15. Примем за оптимальное значение в середине между этими двумя, то есть 0,1. Тогда получим следующий прогноз объёма продаж: 114,3.
Формулу экспоненциальной средней можно преобразовать, чтобы в прогнозе учитывалась погрешность прогноза для предыдущего периода:
F t+1 = αy t + (1 − α )F t
F t+1 = αy t + F t − α F t
F t+1 = F t + α (y t − F t )
F t+1 = F t + α ε t ).
Как показывает последнее выражение, прогноз по методу экспоненциальной средней образуется из прогноза с экспоненциальным средним значением прошлого периода с прибавлением погрешности ошибки, умноженной на параметр сглаживания α . Если погрешность больше нуля, это означает, что предыдущий прогноз был меньше фактического значения и следующий прогноз будет соответственно увеличен. Если погрешность меньше нуля, то прогноз был меньше фактического значения и прогноз на следующий период будет соответственно уменьшен.
Доверительный интервал для прогнозов на основе средних значений
Доверительный интервал прогноза определяется путём вычисления стандартной погрешности s ε .
Фактически можно принять, что в 68 % случаев прогнозы находятся в интервале Ft ± s ε , а в 95 % случаев - в интервале Ft ± 2s ε .
Чтобы вычислить s ε , можно использовать значение средней абсолютной погрешности MAD или значение средней квадратической погрешности MSE:
.
Пример 12. В нашем примере с объёмами продажи холодильников стандартная прогрешность для прогноза по методу скользящей средней, если N =5, равна . Это означает, что для 8 месяцев (0,68⋅12) прогноз должен быть с округлением в пределах от 112 до 122 (116,6±5,1), а для 11 месяцев (0,95⋅12) - в пределах от 106 до 127 (116,6±2⋅5,1).
Стандартная погрешность прогноза по методу экспоненциального сглаживания, если
α
=0,1, составляет 
.
Это означает, что в 68 % случаях прогноз с округлением должен находиться в границах от 110 до 118
(114,3±4,1), а в 95 % - в границах от 106 до 123 (114,3±2⋅4,1).