Процентные ставки и методы их начисления. Способы начисления процентов в российских банках

Начисление про­стых процентов (т. е. схема простых процентов) представляет собой метод начисления процентов в течение всего срока займа на первоначальный капитал. Этот метод применяется при обслужи­вании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты используют при выдаче краткосрочных ссуд, предоставляемых на срок до од­ного года с однократным начислением процентов.

Формула начисления процентного дохода про­стыми процентами имеет вид:

F = P + I

F = P (1+ nr ),

где F- наращенная сумма;

Р - исходный капитал;

n- срок начисления процентов;

r - ставка процента (выраженная в сотых долях процента).

Тогда процентный доход (I) определяется по формуле

I = Р * n * r .

Когда продолжительность n финансовой операции меньше года, про­центный доход обычно определяется по формуле

I = P * t / T * r

где t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т - количество дней в году.

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему равной берется продолжительность года (квартала, месяца), полу­чают два варианта процентов:

- точные проценты, определяемые исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

- обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30 дней).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта расчетов:

1) при первом принимается в расчет точное число дней кредитования (расчет ведется по дням);

2) при втором принимается в расчет приблизительное число дней кредитования (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).

В банках при обслуживании текущих счетов для начисления процентов часто используют такие величины, как процентное число и дивизор

Процентное число рассчитывается как : k = P t / 100

Дивизор рассчитывается как : D = T / r

Тогда процентный доход можно определить следующим образом:

I = сумма (k ) / D

Обычно сумма на счете часто меняется в результате поступлений или изъятий денежных сумм. Для того чтобы найти общую величину начислен­ных процентов за некоторый срок, вначале определяют процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем все процентные числа складываются и полученное значение делится на дивизор.

Начисление сложных процентов.

Сложные проценты (или «проценты на проценты») – это метод расчета дохода кредитора, при котором процентный платеж в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а в следующем периоде проценты начисляются уже на наращенный капитал.

В этом случае происходит капитали­зация процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к их базе и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу один раз в год, то считается, что капитализация является годовой.

Если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу каждые 6 месяцев, то это называется полугодовой капитализацией.

Начисление сложных процентов и их капитализация может производится поквартально, каждый месяц и т.д.

Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативное (предварительное) и декурсивное (последующее).

Антисипативное начисление сложных процентов – это начисление процентов в начале каждого расчетного периода. Этот способ используется в период высокой инфляции.

Декурсивное начисление сложных процентов – это начисление процентов в конце каждого расчетного периода. Это наиболее распространенный способ начисления сложных процентов.

При декурсивном способе расчета конечная стоимость капитала может быть рассчитана по следующей формуле:

F n = P * (1 + r ) n

где F n - конечная стоимость капитала

P - первоначальная стоимость капитала

r – процентная ставка, выраженная в десятичных дробях

n – число периодов начисления

Величина (1 + r) называется декурсивным коэффициентом, а n–я степень этого коэффициента – коэффициентом наращивания.

Совокупный процентный платеж при декурсивном начислении можно рассчитать по следующей формуле:

I = P * [ (1 + r ) n – 1]

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. Сумма выплачиваемых процентов (I) за период d рассчитывается по формуле:

где P – сумма вклада (первоначальный долг);

i –размер процентов;

d – срок хранения вклада в днях;

k – количество дней в году.

Сумма вклада с процентами за хранение (S) рассчитывается по формуле:

Срок вклада в годах (n), срок вклада в днях (d) и годовая учетная ставка простых процентов (i) рассчитываются по формулам:

где S – наращенная с процентами сумма вклада;

Общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга можно также рассчитать по следующей формуле:

где S – сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;

Р– первоначальный долг;

i –ставка процентов;

n–продолжительность ссуды в годах, либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. В этом случае при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн. руб. сроком на 3 месяца при условии уплаты 120% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя (стоимость покупки) составит:

Особую важность в условиях высокого уровня инфляции приобретает определение реального дохода от депозитных (кредитных) вложений. Сумма вклада с процентами, пересчитанная с учетом инфляции (P t) рассчитывается по формуле:

;

где t r – уровень инфляции за срок хранения.

Уровень инфляции за срок хранения t r рассчитывается следующим образом:

где mn – количество месяцев в сроке хранения;

t m – месячный уровень инфляции.

Например, при условии, что размер вклада составил 100 тыс. руб. на срок 6 месяцев под 40 % годовых номинальный доход вкладчика составит:

Однако, при условии, что среднемесячный уровень инфляции за период хранения составит 5 %, то сумма реального дохода (пересчитанная с учетом инфляции), который получит вкладчик составит:

Таким образом, через полгода вкладчик получит 120 тыс. руб., покупательная способность которых составит 89750 руб.

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент (т.е. проценты начисляются на проценты). Формулу для начисления сложных процентов и определения общей суммы задолженности можно представить в виде:

Наращенная сумма вклада с процентами рассчитывается по следующей формуле:

где S – наращенная сумма вклада с процентами;

n – срок хранения вклада в годах;

m – количество периодов начисления в году;

mn – количество периодов начисления за срок хранения.

Сумма начисленных процентов рассчитывается по формуле:

Рассмотрим условный пример.

Допустим, вкладчик планирует положить в банк на депозит 200 тыс. руб. сроком на 10 месяцев. При этом предлагаются следующие условия хранения:

банк начисляет на вклады 70 % годовых по простой процентной ставке;

банк начисляет проценты на вклады ежемесячно по сложной ставке 60 % годовых (начисленные после первого периода начисления проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме вклада).

Рассчитаем наращенную сумму вклада с процентами по 2-м вариантам:

Таким образом, несмотря на то, что при начислении по простой процентной ставке проценты, начисляемые банком по вкладам, выше (70 % годовых), чем при начислении по сложной процентной ставке (60 % годовых), доход, получаемый вкладчиком при существующих условиях будет больше при использовании второго варианта хранения.

Такие же методы начисления процентов могут использоваться при кредитовании банком своих клиентов. При этом банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р – сумма выданного кредита – 100000 руб.,

i – ставка процента – 9% годовых.

K – точное число дней ссуды,

S – наращенная сумма долга.

Тогда, S = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 365 дн.) = 106411 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае также как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364:360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

S 2 = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 360 дн.) = 106499 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S 3), учитывая это:

S 3 = 10000 x (1 + 0,09% x 257 дн.: 360 дн.) = 106424 руб.

Практика показывает, что второй способ начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь ввиду кредитору при оформлении ссуды.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов. Например, смысл метода простых процентов заключается в том, что проценты начисляются все время на одну и ту же сумму - начальный долг (поэтому скорость начисления процентов постоянна). В отличие от этого, метод сложных процентов характеризуется фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заемщика возрастает в геометрической прогрессии: задолженность в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. Метод простых процентов используется прежде всего при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный кредитным договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. При этом общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

5= Р? (1 +« /),

где? - сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга; Р - первоначальный долг; п - срок пользования кредитом в днях к применяемой базе (360 или 365 дней); / - ставка процента.

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. Здесь при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Р= 5: (1 + п /): 360.

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн руб. сроком на три месяца при условии уплаты 12% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя составит:

Р = 100: (1 + 0,12 90) : 360 = 76,9 млн руб.

При процедуре учета векселей для определения суммы платежа до истечения срока их предъявления используется следующая формула:

5= Р(-с1) : 360,

где с/ - учетная ставка по векселю.

Например, банк учитывает вексель за 20 дней досрочно до установленной даты погашения обязательства. При этом вексельная сумма составляет 100 млн руб., а учетная ставка - 13% годовых. В этом случае сумма, по которой вексель учитывается, составит:

Р = 100 (1 - 0,13-20): 360 = 93 млн руб.

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. В российской банковской практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по вкладам частных лиц.

Предположим, что вкладчик положил в банк сумму 50 под процентную ставку /". Тогда через год на его счету будет сумма 5(1) = = (1 + /)50. Если вкладчик решит не снимать деньги со счета, а снова их вложить с теми же условиями (реинвестировать), то уже через два года от даты совершения первого вклада на его счету будет сумма: 5(2) = (1 + /)51 = (1 + /)250. Продолжая в том же духе, за п лет вкладчик сможет получить сумму S(n) = (1 + /)л750.

Сумма вклада возрастает в геометрической прогрессии. Если обобщить этот пример, то можно сказать, что при использовании метода сложных процентов задолженность заемщика является показательной функцией от времени (показательная функция - это обобщение геометрической прогрессии): 5(0 = (1 + i)tS0.

Предположим, что вкладчик положил сумму 100 тыс. руб. все в тот же банк, предлагающий вклады под 10% годовых. Если банк использует метод сложных процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма 5(12) = (1 +0,1) 12 100 000 = 104 881 руб. В этом и предыдущем примерах мы неявно полагали, что вклад на полгода имеет продолжительность 1/2 года. Если бы мы знали точные даты начала и окончания этой финансовой операции, то для получения правильного результата нам бы пришлось вычислять ее точную продолжительность в годах по методу «365/365».

Возможны различные варианты начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования кредитом и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней кредита может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней), либо приближенно к 369 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов.

• 1. Точные проценты с фактическим числом дней кредита. Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней кредита, временная база равняется фактической продолжительности года. Например, Р - сумма выданного кредита (100 000 руб.), / - ставка процента (9% годовых), Д - точное число дней кредита (260 дней). Наращенная сумма долга (5) составит: 5 = 100 000 (1 + 0,09% х х 260: 360) = 106 411 руб.
• 2. В этом случае, так же как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней кредита, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период кредита равен 364 дням, то 364: 360 - 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере: 52 = 100 000 (1 + 0,09% 260: 360) = 106 499 руб.
• 3. Обыкновенные проценты с точным числом дней кредита. Здесь продолжительность кредита в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней кредита в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней кредита равно 257 дням (53), учитывая это: 53 = 100 000 * (1 + 0,09% 257: 360) = = 106 424 руб.

Практика показывает, что второй вариант начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней кредита дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь в виду кредитору при оформлении кредита (дополнительный алгоритм вычислений процентов приведен в Приложении 6 (?5).

Вопросы для самоконтроля

• 1. Что такое процентная политика коммерческого банка?
• 2. Перечислите внешние факторы, влияющие на процентную политику.
• 3. Какие внутренние факторы влияют на процентную политику банка?
• 4. Какие процентные ставки учитывает коммерческий банк при формировании своей процентной политики?
• 5. Какие факторы влияют на процентные ставки по пассивным операциям коммерческого банка?
• 6. Какие факторы влияют на процентные ставки по активным операциям коммерческого банка?
• 7. Что такое фиксированная, плавающая процентная ставка?
• 8. Какие процентные ставки применяются в зарубежной банковской практике?
• 9. Какие межбанковские ставки применяются в российской банковской практике?
• 10. Что представляет собой базовая процентная ставка и как она определяется?
• 11. Что представляет собой процентная маржа и как она определяется?
• 12. Опишите метод расчета простых и сложных процентов.
• 13. Охарактеризуйте варианты начисления процентов.

В зависимости от условий проведения расчетов оценки эффективности инвестиционных проектов как дисконтирование, так и наращение осуществляются с применением простых и сложных процентов.

Простые проценты в практике используются в краткосрочных финансовых операциях сроком менее одного года, когда используется наиболее упрощенная система расчетных алгоритмов.

Базой для исчисления процентов за каждый плановый период при простых процентах является первоначальная (исходная) сумма сделки. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

1. Будущая стоимость вклада К б с учетом начисленной суммы процента через t лет определяется по формуле

где Р – сумма процента за обусловленный период времени в целом;

К

t -

процентных платежей;

i – процентная ставка.

Множитель (1+ t х i ) называется множителем наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно больше единицы.

Сумма простого процента в процессе наращения стоимости капитала рассчитывается по формуле:

Р = К x t x i.

Пример . Определить будущую стоимость вклада и сумму простого процента за год при следующих условиях:

первоначальная сумма вклада – 5000 руб.;

Решение:

сумма процента составит

Р = 5000 х4х0,03 = 600 руб.;

Будущая стоимость вклада составит

К = 5000(1+4х0,03) = 5600 руб.

Пример . Определить период начисления при годовой процентной ставке i = 0,1, за который первоначальный капитал 100 тыс. руб. вырастет до 140 тыс. руб. по простым процентам.

Решение:

К б = К(1+ i х t),

t = года.

Решение:

2. Настоящая стоимость денежных средств К н с учетом начисленной суммы простого процента определяется по формуле:

Множитель называется дисконтным множителем суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

Сумма простого процента в процессе дисконтирования стоимости определяется по формуле

где D – величина дисконта за обусловленный период времени в целом;

К – первоначальная сумма денежных средств;

Пример . Определить настоящую (текущую) стоимость вклада и сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях:

конечная сумма вклада – 5000 руб.;

дисконтная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.

Решение:

настоящая стоимость вклада составит

руб.;

Начисленная сумма дисконта составит

D руб.

Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях со сроком более одного года. Для расчета по сложным процентам используется более обширная система расчетных алгоритмов.

Базой для исчисления процентов за каждый плановый период при сложных процентах являются первоначальная (исходная) сумма сделки и к этому времени накопленные проценты.

1. При расчете будущей суммы вклада в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:

где К б – будущая стоимость вклада по сложным процентам;

К – первоначальная сумма вклада;

t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет

процентных платежей;

i – процентная ставка.

Соответственно начисленная сумма процента Р определяется по формуле

Р = К б – К.

Таким образом, если инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, то годовой доход по определенной годовой ставке исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. исходная база все время возрастает.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления значительно выгоднее, поскольку вложенный капитал постоянно возрастает.

Проценты

Рис. 5.2. Доходы по простым и сложным процентам

Рисунок 5.2 показывает, что за период менее 1 года выгодно вкладывать капитал по простым процентам. За период более 1 года – по сложным процентам. На период 1 год – одинаково.

Формула сложных процентов используется при оценке эффективности инвестиционных проектов. Выражение (1+i ) t называют мультиплицирующим множителем или множителем наращения сложных процентов.

Экономический смысл множителя состоит в следующем: он показывает будущую стоимость вложенного капитала через n лет при заданной процентной ставке i .

Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях:

первоначальная стоимость вклада – 5000 руб.;

процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%;

общий период инвестирования – 1 год.

Решение:

будущая стоимость составить

начисленная сумма процента равна

Р = 5627,5 – 5000 = 627,5 руб.

При вложении капитала на депозитный счет может быть ситуация, когда срок операции составляет не целое число лет. В этом случае кредиторы используют смешанный порядок начисления процентов: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке. Тогда будущая (наращенная) стоимость вложенного капитала определяется по формуле

где n – число полных лет в составе продолжительности операции;

n - число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год;

k – временная база.

Пример . Инвестор вкладывает 100 тыс. руб. на депозитный счет банка под 12% годовых. Действие договора распространяется на период с 1 го июня 2006 г. по 31 декабря 2009 г. Определить будущую стоимость первоначального капитала по формуле сложных процентов и по формуле, предусматривающей смешанный порядок исчисления процентов.

Решение:

в случае начисления сложных процентов за весь срок договора

Тыс. руб.;

при смешенном способе

Тыс. руб.

Таким образом, при смешанном методе начисления процентов инвестор получит на 3,6 тыс. руб. больше.

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования(К н ) по сложным процентам используется следующая формула:

где К б – будущая стоимость вклада;

t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет

процентных платежей;

i – процентная ставка.

Соответственно начисленная сумма дисконта D определяется по формуле:

D = К – К н.

Пример . Определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за 1 год при следующих условиях:

будущая стоимость вклада – 5000 руб.;

процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.

Решение:

настоящая стоимость составить

руб.

начисленная сумма дисконта

D =5000 - 4440,0 = 560,0 руб.

3. При определении процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула

где i – процентная ставка;

К б – будущая стоимость вклада при его наращении по сложным

процентам;

К – первоначальная сумма денежных средств;

t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет

процентных платежей.

Пример . Определить годовую ставку доходности облигации при следующих условиях:

номинал облигации, подлежащей погашению через 3 года, составляет 5000 руб.;

цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии, составляет 3000 руб.

Решение:

годовая ставка доходности составит

Пример . Инвестор имеет 300 000 руб. и желает получить через 2 года 400 000 руб. Каково в этом случае должно быть минимальное значение годовой процентной ставки?

Решение:

пользуемся формулой

Следовательно, для того чтобы получить необходимую сумму нужно вложить денежные средства по годовой ставке не ниже 8%.

4. Эффективная процентная ставка в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам рассчитывается по формуле

где i э – эффективнаясреднегодовая процентная ставка при наращении

стоимости денежных средств по сложным процентам;

i – процентная ставка, используемая при наращении стоимости

денежных средств по сложным процентам.

Пример . Определить эффективнуюсреднегодовую процентную ставку при следующих условиях:

денежная сумма 5000 руб. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года;

годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление процента, составляет 12%.

Решение:

эффективная среднегодовая процентная ставка составит

Результаты расчетов показывают, что условия размещения вклада на 2 года под 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов равнозначны условиям начисления этих процентов 1 раз в год под 12,5% годовых.

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам надо иметь в виду, что на результат оценки оказывает влияние не только ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода.

Пример . Если вклад в сумме 100 000 руб. хранить в банке 2 года, то при годовой ставке 12% в зависимости от частоты начисления процентов накопленная сумма составит:

а) при начислении процента 1 раз в год

100 000(1+0,12) 2 = 125440,0 руб.;

б) при полугодовом начислении процентов

100 000(1+0,12/2) 2х2 = 100 000(1+0,06) 4 = 126247,69 руб.;

в) при ежеквартальном начислении процентов

100 000(1+0,12/4) 2х4 = 100 000(1+0,03) 8 = 126677,0 руб.;

г) при ежемесячном начислении процентов

100 000(1+0,12/12) 2х12 = 100 000(1+0,01) 24 = 126973,46 руб.

Пример . Перед инвестором стоит задача разместить 100 тыс. руб. на депозитный вклад сроком на 1 год. Первый банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным процентам в размере 3% в квартал; второй - в размере 7% 2 раза в год, третий - 13% 1 раз в год. Определить? какой вариант лучше. Результаты расчетов приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Второй вариант лучший.

Временные периоды, которым соответствуют определенные по величине денежные потоки, обычно предполагаются равными. Одновременно предполагается, что денежные поступления имеют место либо в начале, либо в конце периода, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ, в начале или в конце года.

Поступления в начале года называются потоком пренумерандо , или авансом, в конце года - постнумерандо .

Разница между ними состоит в том, что в первом случае поступление денежных средств происходит параллельно с вложением инвестиций.

На практике относительно большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку финансовые результаты определяются обычно по окончании очередного отчетного года. Именно этот поток положен в основу методик анализа эффективности инвестиционных проектов. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Тема 1. Методы начисления
банковских процентов

Банк – это кредитное учреждение, созданное для привлечения денежных средств от юридических и физических лиц и размещение их от своего имени на условиях возвратности, платности и срочности, а также осуществления иных банковских операций.

В структуре средств банков основную часть занимают привлеченные средства. Обычно величина собственного капитала коммерческих банков составляет менее 10% от общей суммы ресурсов.

Привлеченные средства банков можно подразделить на две категории:

• депозиты, включающие средства на различных счетах, а также депозитные сертификаты;
• кредиты Центрального банка, других банков и кредитных учреждений, выпуск долговых обязательств.

За использование кредитных ресурсов банки выплачивают их владельцам доход в виде процентов, который является для банков процентными расходами.

Проценты (процентные деньги) – это сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (открытие депозитных счетов, выдача кредитов, покупка облигаций и др.). Сумма начисленных процентов зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки. Процентные ставки могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга.

В зависимости от способа начисления, проценты делятся на простые и сложные.

Простые проценты – это метод начисления, при котором сумма процентов определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности.

Простые проценты начисляются по формуле:

,

(1)

где: Б – конечная сумма, полученная вкладчиком (кредитором) по истечению периода Т;

С – первоначальная (исходная) сумма вклада (долга);

Т – период, в течение которого происходило начисление (в днях);

Т год – количество дней в году. Принимается равным 360 или 365 (в зависимости от метода определения Т);

К – норма доходности (ставка процентов по вкладам).

Сложные проценты – метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга) и на прирост вклада (долга), т.е. сумму процентов, начисленных после первого периода начисления. Таким образом, база для начисления сложных процентов (в отличие от простых) будет увеличиваться с каждым периодом начисления.

Суть сложных процентов в том, что происходит начисление процента на процент.

Формула сложных процентов имеет следующий вид:

где: Tl – целое число лет в течение срока вклада;

ΔТ – остаток периода в годах.

Начисление смешанных процентов даeт более точный результат, в то время как при сложных процентах итог приближeнный.

Задание

1. Требуется обеспечить получение 10000 руб. через полгода. Сколько надо вложить для этой цели денег в коммерческий банк при начислении простых и сложных процентов в размере 15% годовых. Сделать вывод, какой метод более выгоден клиенту.
2. Депозит в размере 15000 руб. открыт в банке на 2 года под 20% годовых. Найти сумму начисленных процентов с использованием простой и сложной ставок. Сделать вывод, какой метод более выгоден вкладчику.
3. Вкладчик размещает 850 руб. в банке на 1,5 года, проценты начисляются по сложной ставке, которая составляет 21% годовых. Рассчитать сумму начисленных процентов (приближeнное и точное значение).
4. Депозитный счет в размере 4000 руб. открыт в коммерческом банке на 3 месяца под 17% годовых. Найти процентный доход, который получит вкладчик при начислении простых и сложных процентов. Сделать вывод.
5. Найти, в течение какого количества лет вклад в размере 1500 руб. возрастет до 3000 руб. при начислении процентов по простой ставке, 13% годовых.
6. Вкладчик собирается положить в банк сумму 15000 руб. с целью накопления 16500 руб. Ставка процентов будет составлять 21% годовых. Найти срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму. Необходимо учесть, что банк использует при расчетах фактическое значение количества дней в году.
7. Клиент, решивший внести на депозит 2000 руб., хочет накопить через год не менее 2700 руб. Необходимо найти требуемую простую ставку процентов, на основании которой он может выбрать банк для размещения своих средств.
8. Имеются две суммы денег, одна больше другой на 5000 руб.
   • бoльшая сумма вложена на 6 месяцев при ставке 5% годовых.
   • мeньшая сумма внесена на 3 месяца при ставке 6% годовых.
   • процентный доход за б?льшую сумму вдвое больше процентного дохода за мeньшую сумму. Необходимо найти величину этих денежных капиталов.
9. На какой временной период должен быть вложен капитал при 12% годовых, чтобы процентный доход был равен тройной сумме капитала?
10. Денежная сумма, величиной 10000 руб., внесена в банк на 4 месяца под 10% годовых. Определить величину процентного дохода вкладчика.
11. Банк ежегодно начисляет сложные проценты на вклады по ставке 13% годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк, чтобы через 3 года накопить 1 млн. руб.

Тема 2. Декурсивный и антисипативный
метод начисления процентов

Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределение во времени. С помощью ставки процентов может быть определена как будущая стоимость "сегодняшних" денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая) стоимость "завтрашних" денег – например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае речь идeт об операции наращения (начисления), поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к еe современной величине (текущему моменту). Такая стоимость денег называется дисконтированной, приведенной или текущей.

Процентная ставка К показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени и определяется делением процентного дохода на первоначальную сумму.

Процентную ставку используют при определении прироста текущей стоимости, таким образом, К – своего рода "наценка".

Наращивание первоначальной суммы с использованием процентной ставки называется декурсивным методом начисления процентов.

Кроме процентной ставки, существует учетная ставка (или ставка дисконта) К уч. Она равна отношению процентного дохода к конечной сумме.

Ставку дисконта используют при определении снижения будущей стоимости, то есть К уч – "скидка" biskont (немец.) – скидка.

Тем не менее, иногда по учетной ставке производят наращение стоимости. Начисление процентов с применением ставки дисконта (учетной ставки) называется антисипативным методом .

С помощью рассмотренных ставок могут начисляться простые и сложные проценты.

Начисление простых декурсивных процентов:

где: К уч – учетная ставка (ставка дисконта).

Начисление сложных декурсивных процентов:

В России в настоящий момент в основном применяется декурсивный метод начисления процентов. Антисипативным методом обычно пользуются в технических целях, например, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат.

Задание

1. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдается на полгода под 30% годовых. Найти сумму начисленных процентов по простой ставке
   • декурсивным методом;
   • антисипативным методом.
   Сделать вывод, какой метод более выгоден заeмщику, кредитору.
2. 10000 рублей внесено в банк на 5 лет под 14% годовых. Определить процентный доход от вложения денег при:
   • декурсивном способе расчета сложных процентов;
   • антисипативном способе расчета сложных процентов.
3. Вкладчик собирается положить деньги в банк с целью накопления 800000 руб. через год. Процентная ставка банка – 16% годовых. Определить требуемую сумму вклада при использовании антисипативного и декурсивного метода начисления процентов.
4. Вкладчик внес 500000 руб. с целью накопления 700000 руб. Определить срок в днях, за который инвестор накопит требуемую сумму по декурсивному и антисипативному методу начисления простых процентов. Процентная ставка банка – 14% годовых.

Тема 3. Определение календарной базы
начисления простых процентов

В международной банковской практике количество дней в году и в месяцах определяется по-разному.

В германской (коммерческой) практике расчет числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней. Сокращенно суть данного метода можно записать:

12 месяцев по 30 дней = 360 / количество дней в году – 360

Во французской практике длительность года принимается равной 360 дням, количество дней в месяце соответствует их фактической календарной длительности (28, 29, 30, 31 день).

365 / 360

В английской практике Т год = 365 (366) дней, продолжительность каждого месяца – фактическая.

365 / 365

Исчисляемые по германской базе проценты называются обыкновенными или коммерческими, по английской – точными.

Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать при расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США.

В России применяются как обыкновенные (360/360), так и точные проценты (365/365). Точные используются в официальных методиках ЦБР и МФ РФ для расчета доходности по государственным обязательствам. Обыкновенные проценты применяются в основном при проведении операций с векселями.

При определении количества дней для начисления процентов необходимо учесть, что в банках принято день приeма и день выдачи вклада (долга) считать за 1 день.

Задание

1. Вклад до востребования был размещен с 20.01.2003 г. по 15.03.2003 г. Найти количество дней для начисления процентов тремя методами. Сделать вывод.
2. Вклад размещен с 25.06.2002 г. по 5.09.2002 г. Найти количество дней для начисления процентов, используя германский, французский, английский методы.
3. Депозит в размере 1000 руб. открыт в банке 12.03.2000 г. и востребован 25.12.2000 г. Начислялись простые проценты по ставке 19% годовых. Найти сумму начисленных процентов с использованием германской, французской и английской практик определения календарной базы. Сделать вывод, в каком случае вкладчик получит наибольший доход.
4. Вклад положен в банк 4.02.2003 г. и изъят 1.06.2003 г. Ставка процентов 12% годовых. Сумма вклада 2000 руб. Банк начисляет обыкновенные проценты. Найти сумму начисленных процентов.
5. Вкладчик собирается положить в банк 3000 руб. 1.03.2003 г., чтобы через три месяца накопить 400 руб. Найти требуемую простую ставку процентов по вкладам при условии, что банки рассчитывают календарную базу по английскому методу.

Тема 4. Начисление процентов
на депозитах до востребования

Привлечение ресурсов осуществляется банками посредством депозитных операций.

Депозиты (вклады) подразделяются на:

• депозиты до востребования (бессрочные);
• срочные депозиты.

Депозиты до востребования представляют собой средства, которые могут быть востребованы в любой момент без предварительного уведомления банка со стороны клиента. На эти счета денежные средства вносятся или изымаются как частями, так и полностью без ограничений.

Срочные вклады – это депозиты, привлекаемые банками на определeнный срок.

На срочных депозитах начисление процентов происходит с использованием ранее рассмотренных формул.

На бессрочных вкладах сумма не постоянна. Поэтому в банках для начисления процентов используют методику с определением процентных чисел. Суть данного метода состоит в том, что при изменении сумму на счете общая сумма процентов за весь срок хранения вклада составляет сумму процентов, начисленных для каждого периода начисления, в котором сумма на счете была постоянна.

Процентное число определяется по формуле:

где: Пд – постоянный делитель;

Т – количество дней в году (зависит от метода определения Т);

К – годовая ставка процентов.

Задание

1. При открытии сберегательного счета по ставке 4% годовых 20.05.2002 г. на счет положено 1000 руб. Затем 5.07.2002 г. на счет добавлено 500 руб., 10.09.2002 г. со счета снято 750 руб., а 20.11.2002 г. счет был закрыт. Найдите сумму начисленных процентов, если использовались обыкновенные (коммерческие проценты).
2. При открытии счета до востребования 10.12.2002 г. клиентом была внесена сумма в размере 5000 руб. под 4,5% годовых. 1.02.2003 г. на счет добавлено 1560 руб., 10.02.2003 г. ещe плюс 1400 руб. Вкладчик хочет закрыть счет 7.03.2003 г. Сколько денег он получит при его закрытии, если календарная база определяется по французской практике?
3. 4 января 2003 г. на счет была внесена сумма 600 руб. под 3% годовых. 9 февраля 2003 г. со счета было снято 250 руб. 28 февраля 2003 г. вкладчик внeс 500 руб.; 10 марта внeс ещe 1400 руб. Клиент собирается закрыть счет 1.06.2003 г. Найти, какую сумму он получит при закрытии счета. Начисляются точные проценты.
4. При открытии бессрочного счета в коммерческом банке "Енисей" 4.03.98 г. было внесено 2000 руб. Затем 5.04.98 г. клиент внeс ещe 1000 руб. 15.06.98 г. клиент внeс ещe 1000 руб. 15.06.98 г. со счета снято 3000 руб., 20.07.98 счет был закрыт. Определить сумму, которую получит вкладчик при закрытии счета. Начислялись простые проценты 4% годовых. Срок хранения вклада определяется по французскому методу.

Тема 5. Начисление процентов при изменении
процентной ставки в течение срока

Существует два вида процентных ставок:

• фиксированная;
• плавающая.

Фиксированная – это неизменная процентная ставка на весь период хранения вклада или действия кредитного соглашения.

Плавающая – это ставка процентов, изменяющаяся в течение периода. С использованием плавающей ставки могут начисляться простые и сложные проценты.

Конечная сумма, полученная вкладчиком при начислении сложных процентов по плавающей ставке, определяется:

где: К 1 , К 2 , К n – последовательные значения процентных ставок;

Т1, Т2, Тn – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки К 1 , К 2 , К n .

Начисление простых процентов с применением плавающей ставки осуществляется по формуле:

Задание

1. Ставка процентов по вкладам до востребования, составляющая в начале года 10% годовых, через полгода была уменьшена до 7% годовых, а ещe через 3 месяца до 4% годовых. Найти сумму начисленных процентов на вклад 1000 руб. за год. Начисление производилось с использованием простой ставки.
2. Вклад 800 руб. положен в банк 25.05.97 г. по ставке 30% годовых. С 1.07.97 г. банк снизил ставку по вкладам до 23% годовых и 15.07.97 г. вклад был закрыт. Количество дней для начисления процентов определялось по английскому методу. Найти сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.
3. Процентная ставка по ссуде определена на уровне 10% годовых, плюс маржа 10% годовых за первый год и 20% годовых в последующие два года. Ссуда дана на 20000 руб. под сложные проценты. Найти сумму, которую должен вернуть заeмщик по истечению трeх лет.
4. По условиям кредитного договора ставка простого процента в первом месяце пользования кредитом составила 15% годовых, в каждом последующем месяце она увеличивалась на 2%. Кредит предоставлен в размере 50000 рублей на 6 месяцев. Начисляются точные проценты.
5. Инвестор, полученную через полгода сумму от ссуды в $ 1000000 под 8% годовых, снова реинвестирует в банк на год под 12% годовых. Найти процентный доход инвестора за 1,5 года.

Тема 6. Начисление сложных процентов

Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году (например, по месяцам, по кварталам, по полугодиям). В этих случаях необходимо задавать ставку процентов за период, или годовую ставку процентов, на основе которой будет определяться ставка процентов за период начисления (номинальную ставку процентов).

Сумма вклада с процентами будет определяться:

где: К – номинальная годовая ставка процентов;

m – количество периодов начисления за год;

T·m – количество периодов начисления в течение срока хранения вклада.

Задание

1. Сложные проценты на вклады начисляются ежеквартально по номинальной годовой ставке 24%. Найти сумму процентов, начисленных на вклад 1700 руб. за 1 год.
2. Сложные проценты начисляются по полугодиям по ставке 21% годовых. Найти необходимую сумму вклада для накопления через три квартала 1500 руб.
3. Вкладчик внeс в банк 5000 руб. под 11% годовых 1.12.2002 г. Депозитный договор заключен до 1.06.2003 г. Календарная база определяется по английской практике. Необходимо определить, при каком методе расчета суммы процентов вкладчик получит максимальный доход. Варианты начисления:
   • простые проценты;
   • сложные проценты с ежемесячными начислениями;
   • сложные проценты с начислениями процентов в конце срока;
   • сложные проценты с начислениями 1 раз в квартал.
4. Сложные проценты на вклады начисляются ежеквартально по годовой ставке 27%. Найти сумму процентов, начисленных на вклад в 5000 руб. через два квартала.
5. Клиент открыл срочный депозит на полгода под 18% годовых. Банк предлагает несколько вариантов начисления процентов:
   • сложные проценты с ежеквартальным начислением;
   • простые проценты с начислением один раз в конце срока;
   • сложные проценты с ежемесячным начислением;
   • сложные проценты с начислением 1 раз в конце срока.
   Найти, какой из представленных методов принесeт вкладчику наибольший доход.
6. Если сложные проценты на вклад начисляются ежемесячно по годовой ставке 9%, то какой должна быть сумма вклада для накопления через 1 квартал 2000 руб.?
7. У юридического лица имеются временно свободные денежные средства в размере 200000 рублей сроком на 3 месяца. Банк предлагает ему приобрести депозитный сертификат банка с выплатой 14% годовых по окончании срока либо поместить деньги на депозитный вклад с начислением процентов по фиксированной процентной ставке 9,5% годовых. Проценты по вкладу начисляются ежемесячно и капитализируются. Определить, какую сумму процентов может получить вкладчик в том и другом случае.

Тема 7. Начисление процентов
при регулярных взносах

Вкладчик может открывать депозитный счет и вносить на него регулярно одинаковые суммы через одинаковые периоды. Тогда размер начисленных процентов на средства клиента зависит от того:

• когда была внесена сумма (в конце или начале расчетного периода);
• как часто вносятся средства;
• как банк производит начисление процентов.

Если ежегодно в конце каждого года в течение нескольких лет на депозитный счет будет поступать одинаковая сумма, а проценты на хранящуюся сумму будут начисляться по сложной ставке, то при закрытии счета вкладчик получит:

где: Б – конечная сумма (средства вкладчика и начисленные проценты на них);

А – размер ежегодных взносов;

К – процентная ставка по вкладам;

Т – срок хранения вклада (в годах).

Если одинаковые суммы будут поступать на депозит в начале каждого года, то сумма накоплений за несколько лет определяется:

Если клиент производит взносы на депозитный счет несколько раз в году в начале каждого расчетного периода, и на них начисляются сложные проценты несколько раз в год, то конечная сумма, полученная вкладчиком, определяется:

где: R – размер периодических взносов вкладчика, сделанных им несколько раз в год;

р – количество взносов в году;

m – количество начислений сложных процентов в год;

Т – срок хранения вклада в годах;

К – процентная ставка.

Если взносы будут поступать на счет несколько раз в год в конце расчетных периодов (в конце каждого месяца, квартала и т.д.) и на сумму на счете несколько раз в год будут начисляться сложные проценты, то по истечению всего срока хранения вклада клиент получит сумму:

Таким образом, получение и погашение долгосрочного кредита, погашение различных видов задолженности, денежные показатели инвестиционного процесса предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределeнных во времени выплат и поступлений, называемых потоком платежей. Специальный поток платежей, в котором временные интервалы между двумя последовательными равными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом. Финансовая рента возникает, например, при выплате процентов по облигациям либо при погашении потребительского кредита.

Задание

1. На депозитный счет в начале каждого квартала будут вноситься 300 рублей. На них один раз в полугодие будут начисляться сложные проценты по годовой ставке 25%. Найдите сумму начисленных процентов за 1,5 года.
2. На депозит в течение 3 лет (5 лет, 7 лет) будет ежегодно в конце года вноситься 500 рублей, на которые будут начисляться сложные проценты по ставке 31% годовых. Найти размер начисленных процентов за 3 года, 5 лет, 7 лет.
3. Вкладчик в конце каждого квартала вносит 200 рублей, на которые ежеквартально начисляются сложные проценты по ставке 18% годовых. Найти, сколько составят накопления вкладчика через два года.
4. На суммы, вносимые в конце каждого квартала на депозитный счет по полугодиям будут начисляться проценты по сложной ставке 21% годовых. Найти размер квартальных взносов, если требуется накопить 10000 рублей за 1 год.
5. В банке клиенту предложили производить ежегодные взносы в размере 1000 рублей либо в начале года, либо в конце. Начисления будут происходить по сложной ставке 17% годовых. Какой вариант обеспечит получение клиентом наибольшего дохода?
6. Взносы на депозитный счет будут производиться в начале каждого квартала, и на них по полугодиям будут начисляться сложные проценты по ставке 20% годовых. Найти размер взносов, необходимых для накопления 5000 рублей за 1 год 3 месяца.
7. Клиент изъявил желание каждые три месяца вносить 2000 рублей на депозитный счет. Необходимо найти, когда это более выгодно делать, в начале или в конце квартала. Следует учесть, что банк начисляет сложные проценты в размере 24% годовых ежеквартально. Срок хранения вклада 1 год.
8. На сберегательный счет в течение 5 лет каждые полгода будут вноситься 50000 руб., на которые раз в год будут начисляться сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.
9. В Пенсионный фонд в конце каждого квартала будут вноситься 5000 руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке равной 8%. Определить сумму, накопленную в фонде за 20 лет.
10. Инвестор в течение 10 лет в конце каждого года получает сумму 50000 руб. и размещает каждый платeж до окончания десятилетнего периода под 9% годовых. Определить будущую стоимость аннуитета.

Тема 8. Депозитные и сберегательные
сертификаты коммерческих банков

Депозитный (сберегательный) сертификат – ценная бумага, удостоверяющая о том, что у еe держателя открыт срочный депозит в банке. Сертификат даeт право на получение по истечении установленного срока суммы вклада и указанных в нeм процентов.

Если в качестве вкладчика выступает юридическое лицо, то оформляется депозитный сертификат (ДС), если физическое лицо – сберегательный (СС). При этом владельцем депозитного сертификата могут быть юридические лица, зарегистрированные на территории Российской Федерации или иного государства, использующего рубль в качестве официальной денежной единицы.

Депозитные и сберегательные сертификаты могут выпускаться только банками. В настоящий момент существуют определeнные ограничения по составу коммерческих банков, которые могут эмитировать сберегательные сертификаты.

Срок обращения депозитных сертификатов ограничивается одним годом. Все расчеты по ним происходят в безналичном порядке. Срок обращения сберегательных сертификатов не может превышать трeх лет, расчеты по ним могут происходить как в наличной, так и безналичной формах.

Депозитные сертификаты имеют ряд существенных преимуществ перед срочными депозитами:

• Клиенты могут продавать их до истечения срока хранения вклада.
• Депозитные сберегательные сертификаты используют для оплаты товаров и услуг (в России по существующему положению это пока не разрешено).

Депозитные сертификаты по способу получения дохода их владельцами подразделяются на два вида – процентные и дисконтные. По процентным депозитным сертификатам начисляются простые проценты аналогично их начислению по депозитным счетам (формула 1).

Депозитные сертификаты дисконтного типа продаются по цене ниже номинала, а погашаются по номиналу. Доходы владельца ДС определяются как разница (дисконт) между номиналом сертификата и ценой его покупки. Расчет цены осуществляется с применением формулы дисконтирования по простой ставке процентов.

где: Р – цена продажи депозитного сертификата дисконтного типа коммерческим банком.

Расчет дохода по сберегательным сертификатам со сроком обращения до 1 года происходит с применением формулы простых процентов. При этом начисляются точные проценты.

Если срок депозита превышает 1 год, то начисляются сложные проценты. Таким образом, определяется доход по сберегательным сертификатам Сберегательного банка РФ.

Если инвестор покупает сертификат не у эмитента, а на вторичном рынке и через некоторое время вновь продаeт его, то цена продажи определяется:

где: Р 1 – сумма покупки сертификата;

Р 2 – сумма продажи сертификата;

Т – период владения сертификатом в днях;

К – процентная ставка по данному вложению.

Тогда доходность этой операции инвестора составит:

Если инвестор, купив сертификат у эмитента, не дожидается его погашения, а перепродаeт его через определeнный период времени на вторичном рынке другому инвестору, то цена покупки сертификата у первого инвестора определяется:

где: Р 1 – цена покупки сертификата у первого инвестора;

С – номинал сертификата;

Т – общее время обращения сертификата в днях;

Т пог – время, оставшееся для погашения сертификата;

КЭ – процентная ставка, установленная при эмиссии сертификата;

К инв – доходность вложений в сертификат последующего инвестора.

Доходность вложений в сертификат для первого инвестора можно вычислить следующим образом:

где: К инв – доходность операций с сертификатом для первого инвестора;

Т год – количество дней в году;

Т 1 – время владения сертификатом первым инвестором.

Задание

1. Банк выпустил процентные депозитные сертификаты номиналом 600 рублей на срок три месяца с начислением процентов по ставке 13% годовых. Найти процентные расходы банка.
2. Банк эмитировал депозитные сертификаты дисконтного типа номиналом 850 руб. на 9 месяцев. На них начисляются простые проценты в размере 14% годовых. Найти: 1. Цену продажи депозитных сертификатов; 2. Доходы владельца ценной бумаги.
3. Инвестор приобрeл одномесячный депозитный сертификат на 100000 руб. по цене 102000 руб., который продал через 12 дней за 103750 руб. Найти доходность операции купли-продажи депозитного сертификата.
4. Инвестор приобрел 5 января 1998 года сберегательный сертификат банка номиналом 2000 руб. с погашением 8 июля 1998 года и процентной ставкой 25% годовых. Какую сумму получит инвестор при погашении сертификата?
5. Депозитный сертификат был куплен за 7 месяцев до срока его погашения по цене 1000 рублей и продан за 4 месяца до срока погашения по цене 1173 рубля. Определить доходность данной операции инвестора в пересчете на год, без учета налогов.
6. Вкладчик купил за 1000 руб. сберегательный сертификат Сбербанка РФ на 3 года. Проценты, начисляемы по ставке 28% годовых, начисляются один раз в год и капитализируются. Найти, какую сумму получит инвестор по окончании срока депозитного договора.
7. Инвестор приобрел у банка сертификат 2 января 2000 года номиналом 3000 рублей со сроком обращения до 1 октября и процентной ставкой 24% годовых. Через 60 дней конъюнктура денежного рынка изменилась, ставки упали, и на вторичном рынке нашелся покупатель, которого устраивал доход по вложению 15% годовых. Найти цену продажи сертификата и доход юридического лица с учетом налогообложения.

Тема 9. Дисконтирование и
банковский учeт

Обратной операцией по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денег – дисконтирование.

В зависимости от того, какая ставка (процентная или учетная) применяется для дисконтирования, различают два его типа:

• математическое дисконтирование;
• банковский учeт.

При математическом дисконтировании используются простая и сложная процентные ставки. Расчеты выполняются по формулам:

С = Б / (1 + К),

(23)

Метод банковского учeта используется при осуществлении банками учeтных операций с векселями.

Вексель – это ценная бумага установленной формы, содержащая безусловное денежное обязательство. Вексель является объектом купли-продажи, и его цена меняется в зависимости от изменения учетной ставки и оставшегося срока до платежа по векселю. На векселе указывается срок платежа, место платежа, наименование того, кому, или по приказу кого платеж должен быть совершен, указаны дата и место составления векселя, имеется подпись лица, выдавшего документ.

Простой вексель (соло-вексель) – это ничем не обусловленное бесспорное обещание должника уплатить определeнную сумму по истечении срока векселя.

Переводной вексель (тратта) – это письменное требование уплатить определeнную сумму. Выдача переводного векселя называется трассированием. Лицо, которое выписывает вексель – трассант; лицо, на которое выдан вексель, и которое должно произвести по нему платeж – трассат; лицо, на имя которого должник должен произвести платeж – ремитент.

Характерной деятельностью банков является учeт векселей. Владелец (простого или переводного) векселя может не ждать наступления срока платежа по векселю, а продать, а продать вексель банку, т.е. учесть вексель. Банк хранит вексель и при наступлении назначенного срока предъявляет его к платежу. За свою услугу банк удержит с продавца векселя определeнный процент от вексельной суммы за еe досрочное получение. Этот процент называется дисконт. Для определения цены и суммы дисконта используется учeтная ставка.

Дисконт по учeту векселей рассчитывается по формуле:

где: Н – номинал векселя;

Т – период в днях с момента принятия векселя к учeту до его погашения;

К уч – учeтная ставка банка (в процентах).

Цена, по которой векселедержатель продаeт вексель банку, определяется как разница между номиналом векселя и суммой дисконта.

Задание

1. Вексель номиналом 100000 руб. со сроком погашения 6 сентября учтен 3 июня при 9% годовых. Определите: сумму дисконта; дисконтированную стоимость векселя.
2. 10 апреля был учтен вексель со сроком погашения 9 июня. Найти номинал векселя, если учeтная ставка банка 6% годовых, а векселедержатель получил 10 апреля 59400 руб.
3. Покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1000000 руб. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых. При начислении используются обыкновенные проценты. Найти:
   • текущую стоимость товаров методом математического дисконтирования;
   • текущую стоимость товаров методом банковского учeта;
   • определить, какой вариант является более выгодным для кредитора.
4. Тратта выдана на 10000000 руб. с уплатой 23 ноября. Владелец документа учeл его в банке 23 сентября. Учeтная ставка равна 8% годовых. Найти сумму, которую выплатит банк при учeте векселя.
5. Через полгода заeмщик должен уплатить 1000000 руб. Ссуда выдана под 20% годовых. Найти, какую сумму получит заeмщик при заключении сделки
   • при математическом дисконтировании;
   • при банковском учeте.
6. Предприятие досрочно предъявило в банк к оплате купленный ранее дисконтный вексель этого банка. Срок платежа по векселю наступит через 10 дней. Номинал векселя равен 50 млн. руб. Учeтная ставка – 16% годовых. Требуется:
   • рассчитать сумму дисконта по векселю;
   • определить сумму, которую банк заплатит по векселю.

Тема 10. Начисление банковских
процентов в условиях инфляции

На размер процентных ставок коммерческих банков большое влияние оказывает уровень инфляции, приводящий к обесцениванию денежных доходов. Если рост инфляции выше роста доходов вкладчиков, определяемых предлагаемыми банком процентными ставками, вкладчики могут выбрать более доходный источник инвестирования своих временно свободных денежных средств. При количественной оценке инфляции используют два показателя – уровень и индекс инфляции.

Уровень инфляции (U Т) показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени. Индекс инфляции (I Т) показывает, во сколько раз выросли цены за этот же период времени. Индекс можно выразить следующим образом:

где: Б p – реальное значение полученной суммы вкладчиком с учетом еe покупательной способности;

Б – сумма, выданная банком клиенту в день закрытия депозитного счета;

I Т – индекс инфляции за период Т.

Задание

1. Среднемесячный уровень инфляции составляет 7%. Найти индекс инфляции за год.
2. Вклад в сумме 80000 рублей внесен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по годовой ставке 120%. Средний уровень инфляции составил 10% в месяц. Найти реальный доход вкладчика с точки зрения его покупательной способности.
3. На взносы на депозитный счет, вносимые в конце каждого квартала по полугодиям будут начисляться сложные проценты по ставке 19% годовых. Размер квартальных взносов 3000 руб. Найти реальное значение полученной суммы с учетом инфляции, если уровень инфляции 1,5% в месяц. Срок хранения вклада 1 год.
4. По полугодиям начисляются сложные проценты по ставке 43% годовых. Найти размер квартальных взносов, если будет накоплено через год 5000 рублей. Учесть, что суммы вносятся в конце квартала. Рассчитать реальное значение полученной суммы, если уровень инфляции в среднем составил 4,5% в месяц.
5. В сбербанк клиент внес 10000 рублей под 14% годовых. Ожидаемый ежемесячный уровень инфляции в 2003 г. 1,8%. Найти, обеспечивает ли банк сохранность средств вкладчика.
6. Вкладчик внeс в Сбербанк 1 июля 2000 года 15000 руб. на полгода. Банк обещает начислить проценты по ставке 16% годовых. Найти реальный доход вкладчика с учeтом инфляции, если в федеральном бюджете на 2000 год запланирован средний уровень инфляции 1,5% в месяц. Банк предлагает следующие варианты начисления:
   • простые проценты;
   • сложные проценты;
   • ежеквартальное начисление сложных процентов.
7. При открытии счета до востребования 10.09.00 г. была внесена сумма 1800 руб. под 3% годовых; 15.10.00 г. было добавлено ещe 600 руб.; 30.10.00 г. ещe плюс 1500 руб.; 30.11.00 вкладчик снял 850 руб.; 15.12.00 г. добавил 1000 руб. Счет был закрыт 08.01.01 г. Среднемесячный уровень инфляции за период действия депозитного договора 12%. Найти реальный доход вкладчика.
8. Вклад в сумме 500000 руб. положен в банк на 2 года с ежеквартальным начислением сложных процентов по номинальной годовой ставке 10%. Определить реальный доход вкладчика для ожидаемого месячного уровня инфляции 1,5% и 2%.